matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathe-Olympiaden anderer LänderFunktionalgleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder" - Funktionalgleichung
Funktionalgleichung < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktionalgleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:17 Mi 28.02.2007
Autor: dbrust_2000

Aufgabe
Man bestimme alle Polynome P(x) mit reellen Koeffizienten, so dass für alle reellen Zahlen x gilt:
[mm] (x+1)^3*P(x-1)-(x-1)^3*P(x+1)=4*(x^2-1)*P(x) [/mm]    

Könnt ihr Überprüfen, ob mein Ansatz stimmt???

1. Es gilt P(0) = 0 (nach einsetzen der Werte x = 1 und x=0 und x =-1
2. P(x) = x *Q(x) mit Grad Q(x) = Grad P(x) - 1
3. Für alle x gilt
[mm] (x+1)^3*P(x-1)-(x-1)^3*P(x+1)=4*(x^2-1)*P(x) [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] (x+1)^3*(x-1)*Q(x-1)-(x-1)^3*(x+1)*Q(x+1)=4*(x^2-1)*x*Q(x) [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] (x^2-1)*[(x+1)^2*Q(x-1)-(x-1)^2*Q(x+1)-4*x*Q(x)]=0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] (x+1)^2*Q(x-1)-(x-1)^2*Q(x+1)=4*x*Q(x) [/mm]

Sei nun
[mm] Q(x)=a_n*x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}*x^{n-1}...a_0 [/mm]

[mm] x^2(Q(x-1)-Q(x+1))+2*x(Q(x-1)+Q(x+1))+(Q(x-1)-Q(x+1))=4xQ(x) [/mm] (*)

Es gilt nun
Q(x-1) = [mm] a_n*x^n [/mm] - [mm] (na_n [/mm] - [mm] a_{n-1})x^{n-1}+R_{n-2}(x) [/mm] und
Q(x+1) = [mm] a_n*x^n [/mm] - [mm] (na_n [/mm] + [mm] a_{n-1})x^{n-1}+R1_{n-2}(x) [/mm]

also ist
Q(x-1) - Q(x+1) = [mm] -2na_n*x^{n-1} [/mm] + [mm] T_{n-2}(x) [/mm] und
Q(x-1) + Q(x+1) = [mm] 2a_n*x^n [/mm] + [mm] T1_{n-2}(x) [/mm]

mithin
[mm] x^2(Q(x-1) [/mm] - Q(x+1)) = [mm] -2na_n*x^{n+1} [/mm] + [mm] T_n(x) [/mm]
2x(Q(x-1) + Q(x+1)) = [mm] 4a_n*x^{n+1} [/mm] + [mm] 2*T1_{n-1}(x) [/mm]

Betrachte nun die höchste auftretende Potenz in (*)

[mm] -2na_n*x^{n+1} [/mm] + 4 [mm] a_n*x^{n+1} +H_n(x)= [/mm] 4 [mm] a_n*x^{n+1} [/mm] + [mm] H1_n(x) [/mm]
also ist
[mm] -2na_n*x^{n+1} [/mm] + 4 [mm] a_n*x^{n+1} [/mm] =  4 [mm] a_n*x^{n+1} [/mm]
bzw.
[mm] -2na_n*x^{n+1}=0 [/mm]
also ist n = 0 und Q(x) = k und damit P(x) = kx

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[www.matheplanet.de]

        
Bezug
Funktionalgleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 02.03.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]