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| Aufgabe | Untersuchen sie welche der folgenden Abbildungen bijektiv sind und begründen sie ihre Antwort.
[mm] $f_8: \IR^2 \to \IR^2, [/mm] mit (x, y) [mm] \mapsto [/mm] (y-2*x [mm] \red{,} [/mm] 3*x-y)$ |
Hi, also bei den anderen Funktionen habe ich die Aufgaben bereits gelöst, da ich sie mir auch teilweise selbst skizziert habe.
Jetzt habe ich leider das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich sowas Zeichnen könnte oder wie solche eine Funktion aussieht. Große Probleme habe ich mit dem ,.
Wie kann ich das ganze mit der Hand einigermaßen Skizzieren um es mir deutlich zu machen?
Danke für eure Hilfe!
Wie kann ich noch herausfinden ob etwas bijektiv ist, wenn ich es nicht zeichnen könnte oder skizzieren?
PS: Ich werde diese Aufgabe nochmal unter "Mathe-Software" posten, da ich hoffe, dass mir jemand sagen kann wie ich das mit Mathesoftware zeichnen lassen kann. Das ändert aber nichts daran, dass ich es auch gerne mit der Hand zumindest skizzieren können will.
Danke für die Hilfe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Fr 17.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo KnockDown,
zeichnen kannst du eine solche Funktion m.W. nach nicht.
Bijektivitaet umfasst zwei Eigenschaften: Injektivitaet und
Surjektivitaet.
Fuer die I. musst du zeigen: Aus $f(x,y)=f(u,v)$ folgt $x=u$ und $y=v$.
S. bedeutet: Gib dir ein [mm] $(u,v)\in \IR^2$ [/mm] vor und zeige, dass ein
[mm] $(x,y)\in \IR^2$ [/mm] existiert mit $f(x,y)=(u,v)$.
Beides ist nicht schwer und sollte dir selber gelingen.
hth
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Mir ist auch noch etwas eingefallen, wenn ich eine Funktion mit sich selbst verknüpfe [mm] $f\circf$ [/mm] und eine Eigenabildung [mm] $id_f$ [/mm] heraus kommt ist sie doch auch bijektiv oder?
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Was du mit Letzterem meinst, ist mir nicht ganz klar. Richtig ist allerdings, daß eine Funktion [mm]f[/mm] mit [mm]f \circ f = \operatorname{id}[/mm] bijektiv ist. Das ist der besondere Fall einer sogenannten Involution.
Sich eine Funktion mit Hilfe eines Graphen vorzustellen, ist ja nur eine von verschiedenen Möglichkeiten. Hier bietet es sich an, die Funktion als Abbildung zu begreifen, die einen Punkt [mm]P[/mm] in einen Bildpunkt [mm]P'[/mm] überführt:
[mm]f: \ \ P = (x,y) \mapsto P' = (x',y')[/mm] mit [mm]x' = -2x + y \, , \ \ y' = 3x - y[/mm]
Ich weiß nicht, inwiefern dir der Begriff der linearen Abbildung etwas sagt, aber hier handelt es sich um eine solche. Mit der Matrix [mm]T[/mm] und dem Vektor [mm]\vec{p}[/mm], definiert durch
[mm]T = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
schreibt sich das so:
[mm]f(x,y) = T \cdot \vec{p}[/mm]
In der linearen Algebra lernt man, daß die Eigenwerte (Berechnung mit dem charakteristischen Polynom) und zugehörigen Eigenvektoren eine wichtige Rolle spielen. Hier sind das
[mm]\lambda = - \frac{\sqrt{13} + 3}{2}[/mm] mit Eigenvektor [mm]\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\mu = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}[/mm] mit Eigenvektor [mm]\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{\sqrt{13} + 1}{2} \end{pmatrix}[/mm]
Setzt man Pfeile für die Eigenvektoren am Ursprung [mm]O[/mm] an, so zeigen die Spitzen auf die Punkte [mm]U[/mm] bzw. [mm]V[/mm]. Die Geraden [mm]OU[/mm] bzw. [mm]OV[/mm] sind dann Fixgeraden der linearen Abbildung [mm]f[/mm].
In den Anhang habe ich eine Zeichnung gestellt. Um sie anzuschauen, mußt du ![[]](/images/popup.gif) Euklid herunterladen und die Datei mit diesem Programm öffnen. Du kannst dabei die Punkte [mm]A,B,C[/mm] und ihre Bildpunkte [mm]A',B',C'[/mm] beobachten. Sieh, wie sich die Bildpunkte [mm]A',B',C'[/mm] verändern, wenn du mit der Maus an den Punkten [mm]A,B,C[/mm] ziehst. Wenn du einen Originalpunkt auf eine der gestrichelten Fixgeraden legst, liegt auch sein Bildpunkt auf dieser Fixgeraden. Das erklärt auch den Namen Fixgerade: das ist eine Gerade, die auf sich selber abgebildet wird.
Und die Bijektivität der Abbildung zeigst du am besten, indem du das lineare Gleichungssystem
[mm]x' = -2x + y[/mm]
[mm]y' = 3x - y[/mm]
nach [mm]x,y[/mm] auflöst. Mit der Angabe einer Umkehrabbildung ist dann auch die Bijektivität gezeigt.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Link zum 1. Dateianhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
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Injektiv. Sei [mm] f(x_1,y_1) [/mm] = [mm] f(x_2,y_2). [/mm] Dann gilt
[mm] y_1-2x_1 [/mm] = [mm] y_2-2x_2 [/mm] und [mm] 3x_1-y_1 [/mm] = [mm] 3x_2-y_2
[/mm]
Addiere die Gleichungen [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2. [/mm] Setze dieses Ergebnis z.B. in die zweite Gleichung ein [mm] \Rightarrow y_1 [/mm] = [mm] y_2. [/mm] Also [mm] (x_1,y_1) [/mm] = [mm] (x_2,y_2).
[/mm]
Surjektiv. Sei [mm] (u,v)\in\IR^2. [/mm] Wähle x = u+v und y = 3u+2v. Dann gilt f(x,y) = (u,v).
Das Schaubild dieser Funktion ist ein vierdimensionales Gebilde. Selbst wenn man den Graph auf zweidimensionales Papier projezieren würde, käme die Anschauung kaum weit.
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