Funktion über param. Kurve < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 So 09.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | | Integrieren Sie die Funktion f(x,y,z)= xy + 2xz + 3yz (x,y,z [mm] \in \IR) [/mm] über die parametrisierte Kurve [mm] \vec{\gamma}:[0,2] \to \IR^3, [/mm] t [mm] \to (1,3t,4t)^T [/mm] |
Hey,
bin mir hier nicht sicher wie ich vorgehen soll und mein Skript lässt mich da weitestgehend im Stich.
Könnte jetzt die Funktion f nach x,y,z integieren aber ohne Grenzen
und die Kurve [mm] \vec{\gamma} [/mm] über t mit den Grenzen 0 und 2.
Das wäre aber glaube nicht Sinn und Zweck der Aufgabe.
Aus meinem Skript habe ich erfahren das [mm] \vec{\gamma} [/mm] die Grenzen des Integrals für f darstellt.
Selbst wenn ich das richtig verstanden habe wüsste ich nicht so recht wie das gehen soll? Wie es weitergeht erklärt mir das Skript in meinen Augen zumindest nicht?
Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?
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Hallo Teryosas,
> Integrieren Sie die Funktion f(x,y,z)= xy + 2xz + 3yz
> (x,y,z [mm]\in \IR)[/mm] über die parametrisierte Kurve
> [mm]\vec{\gamma}:[0,2] \to \IR^3,[/mm] t [mm]\to (1,3t,4t)^T[/mm]
> Hey,
> bin mir hier nicht sicher wie ich vorgehen soll und mein
> Skript lässt mich da weitestgehend im Stich.
>
> Könnte jetzt die Funktion f nach x,y,z integieren aber
> ohne Grenzen
> und die Kurve [mm]\vec{\gamma}[/mm] über t mit den Grenzen 0 und
> 2.
> Das wäre aber glaube nicht Sinn und Zweck der Aufgabe.
>
> Aus meinem Skript habe ich erfahren das [mm]\vec{\gamma}[/mm] die
> Grenzen des Integrals für f darstellt.
> Selbst wenn ich das richtig verstanden habe wüsste ich
> nicht so recht wie das gehen soll? Wie es weitergeht
> erklärt mir das Skript in meinen Augen zumindest nicht?
>
> Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Kurvenintegral zweiter Art
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 09.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
okay Danke! Das hat schonmal sehr geholfen.
für [mm] f(\gamma(t)) [/mm] komme ich auf
[mm] f(\gamma(t))= [/mm] t*3t+2*t*4t+3*3t*4t = 3t²+8t²+36t²=47t²
bei [mm] \bruch{d\vec{\gamma}}{dt} [/mm] komme ich auf
[mm] \bruch{d\vec{\gamma}}{dt}=(0,3,4)^T
[/mm]
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe bin ich hier bei der 2. Art. Also bleib ich bei meinem Vektor anstatt wie beim ersten Fall einen Betrag zu bilden und somit auf ein Skalar zu kommen.
Sprich ich komme auf
[mm] \integral_{0}^{2}{f(\gamma(t))*\bruch{d\gamma}{dt}dt}=\integral_{0}^{2}{\vektor{0 \\ 141t² \\ 188t²}dt}=\vektor{t \\ \bruch{141t^2}{2} \\ 94t^2}|_{0}^2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 282 \\ 376}
[/mm]
Ist das so richtig? Die Zahlen in meinem Ergebnis erscheinen mir doch recht hoch?
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Hallo Teryosas,
> okay Danke! Das hat schonmal sehr geholfen.
> für [mm]f(\gamma(t))[/mm] komme ich auf
> [mm]f(\gamma(t))=[/mm] t*3t+2*t*4t+3*3t*4t = 3t²+8t²+36t²=47t²
Nach der gegebenen Parametrisierung muss hier doch stehen:
[mm]f(\gamma(t))=\blue{1}*3t+2*\blue{1}*4t+3*3t*4t [/mm]
> bei [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}[/mm] komme ich auf
> [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}=(0,3,4)^T[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe bin ich hier bei
> der 2. Art. Also bleib ich bei meinem Vektor anstatt wie
> beim ersten Fall einen Betrag zu bilden und somit auf ein
> Skalar zu kommen.
> Sprich ich komme auf
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(\gamma(t))*\bruch{d\gamma}{dt}dt}=\integral_{0}^{2}{\vektor{0 \\ 141t² \\ 188t²}dt}=\vektor{t \\ \bruch{141t^2}{2} \\ 94t^2}|_{0}^2[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 282 \\ 376}[/mm]
>
> Ist das so richtig? Die Zahlen in meinem Ergebnis
> erscheinen mir doch recht hoch?
Sorry, ich übersah, daß es sich die f um ein Skalarfeld handelt.
Dann handelt es sich doch um ein Kurvenintegral erster Art
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 So 09.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
> Hallo Teryosas,
>
>
> > okay Danke! Das hat schonmal sehr geholfen.
> > für [mm]f(\gamma(t))[/mm] komme ich auf
> > [mm]f(\gamma(t))=[/mm] t*3t+2*t*4t+3*3t*4t = 3t²+8t²+36t²=47t²
>
>
> Nach der gegebenen Parametrisierung muss hier doch stehen:
>
> [mm]f(\gamma(t))=\blue{1}*3t+2*\blue{1}*4t+3*3t*4t[/mm]
>
Ah ja mein Fehler, hab für x ein t statt der 1 benutzt. hab ich blöderweise verlesen. komme dann auf [mm] f(\gamma(t))= 11t+36t^2=t(11+36t)
[/mm]
>
> > bei [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}[/mm] komme ich auf
> > [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}=(0,3,4)^T[/mm]
> >
> > Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe bin ich hier bei
> > der 2. Art. Also bleib ich bei meinem Vektor anstatt wie
> > beim ersten Fall einen Betrag zu bilden und somit auf ein
> > Skalar zu kommen.
> > Sprich ich komme auf
> >
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(\gamma(t))*\bruch{d\gamma}{dt}dt}=\integral_{0}^{2}{\vektor{0 \\ 141t² \\ 188t²}dt}=\vektor{t \\ \bruch{141t^2}{2} \\ 94t^2}|_{0}^2[/mm]
> > = [mm]\vektor{2 \\ 282 \\ 376}[/mm]
> >
Gerade aufgefallen das ich hier eh nen Fehler gemacht habe bei dem in der Mitte. Durch vergessen des hoch 2 bei dem y- und z-Wert habe ich auch im Folgenden bei der Integration nichts richtiges raus, weil ich mich an das vorherige gehalten hatte.
> > Ist das so richtig? Die Zahlen in meinem Ergebnis
> > erscheinen mir doch recht hoch?
>
>
> Als Integrand muss ein Skalarprodukt da stehen.
>
Und wie mache ich das? Laut deinem Wikieintrag soll ich ja mit dem Vektor von [mm] \bruch{d\gamma}{dt} [/mm] weiterrechnen, dem vektoriellem Wegelement.
Bleibt mir ja nur die Möglichkeit ein Skalar zu bilden?
Sprich:
(11t+36t)*0 + (11t+36t)*3 +(11t+36t)*4 = (11t+36t)*(3+4) = (11t+36t)*7 = 77t + 252t²
Und das dann zu integrieren nach den gegebenen Grenzen?
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Hallo Teryosas,
> > Hallo Teryosas,
> >
> >
> > > okay Danke! Das hat schonmal sehr geholfen.
> > > für [mm]f(\gamma(t))[/mm] komme ich auf
> > > [mm]f(\gamma(t))=[/mm] t*3t+2*t*4t+3*3t*4t = 3t²+8t²+36t²=47t²
> >
> >
> > Nach der gegebenen Parametrisierung muss hier doch stehen:
> >
> > [mm]f(\gamma(t))=\blue{1}*3t+2*\blue{1}*4t+3*3t*4t[/mm]
> >
> Ah ja mein Fehler, hab für x ein t statt der 1 benutzt.
> hab ich blöderweise verlesen. komme dann auf [mm]f(\gamma(t))= 11t+36t^2=t(11+36t)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > > bei [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}[/mm] komme ich auf
> > > [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}=(0,3,4)^T[/mm]
> > >
> > > Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe bin ich hier bei
> > > der 2. Art. Also bleib ich bei meinem Vektor anstatt wie
> > > beim ersten Fall einen Betrag zu bilden und somit auf ein
> > > Skalar zu kommen.
> > > Sprich ich komme auf
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(\gamma(t))*\bruch{d\gamma}{dt}dt}=\integral_{0}^{2}{\vektor{0 \\ 141t² \\ 188t²}dt}=\vektor{t \\ \bruch{141t^2}{2} \\ 94t^2}|_{0}^2[/mm]
> > > = [mm]\vektor{2 \\ 282 \\ 376}[/mm]
> > >
> Gerade aufgefallen das ich hier eh nen Fehler gemacht habe
> bei dem in der Mitte. Durch vergessen des hoch 2 bei dem y-
> und z-Wert habe ich auch im Folgenden bei der Integration
> nichts richtiges raus, weil ich mich an das vorherige
> gehalten hatte.
>
> > > Ist das so richtig? Die Zahlen in meinem Ergebnis
> > > erscheinen mir doch recht hoch?
> >
> >
> > Als Integrand muss ein Skalarprodukt da stehen.
> >
> Und wie mache ich das? Laut deinem Wikieintrag soll ich ja
> mit dem Vektor von [mm]\bruch{d\gamma}{dt}[/mm] weiterrechnen, dem
> vektoriellem Wegelement.
> Bleibt mir ja nur die Möglichkeit ein Skalar zu bilden?
> Sprich:
> (11t+36t)*0 + (11t+36t)*3 +(11t+36t)*4 = (11t+36t)*(3+4)
> = (11t+36t)*7 = 77t + 252t²
> Und das dann zu integrieren nach den gegebenen Grenzen?
Nachdem Du meinen letzten Beitrag gelesen hast, habe ich diesen
korrigiert. Darin bin ich zu der Erkenntnis gekommen, dass es sich
doch um einKurvenintegral erster Art handelt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 09.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
> Hallo Teryosas,
>
> > > Hallo Teryosas,
> > >
> > >
> > > > okay Danke! Das hat schonmal sehr geholfen.
> > > > für [mm]f(\gamma(t))[/mm] komme ich auf
> > > > [mm]f(\gamma(t))=[/mm] t*3t+2*t*4t+3*3t*4t = 3t²+8t²+36t²=47t²
> > >
> > >
> > > Nach der gegebenen Parametrisierung muss hier doch stehen:
> > >
> > > [mm]f(\gamma(t))=\blue{1}*3t+2*\blue{1}*4t+3*3t*4t[/mm]
> > >
> > Ah ja mein Fehler, hab für x ein t statt der 1 benutzt.
> > hab ich blöderweise verlesen. komme dann auf [mm]f(\gamma(t))= 11t+36t^2=t(11+36t)[/mm]
>
> >
>
>
>
>
>
> > >
> > > > bei [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}[/mm] komme ich auf
> > > > [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}=(0,3,4)^T[/mm]
> > > >
> > > > Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe bin ich hier bei
> > > > der 2. Art. Also bleib ich bei meinem Vektor anstatt wie
> > > > beim ersten Fall einen Betrag zu bilden und somit auf ein
> > > > Skalar zu kommen.
> > > > Sprich ich komme auf
> > > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(\gamma(t))*\bruch{d\gamma}{dt}dt}=\integral_{0}^{2}{\vektor{0 \\ 141t² \\ 188t²}dt}=\vektor{t \\ \bruch{141t^2}{2} \\ 94t^2}|_{0}^2[/mm]
> > > > = [mm]\vektor{2 \\ 282 \\ 376}[/mm]
> > > >
> > Gerade aufgefallen das ich hier eh nen Fehler gemacht habe
> > bei dem in der Mitte. Durch vergessen des hoch 2 bei dem y-
> > und z-Wert habe ich auch im Folgenden bei der Integration
> > nichts richtiges raus, weil ich mich an das vorherige
> > gehalten hatte.
> >
> > > > Ist das so richtig? Die Zahlen in meinem Ergebnis
> > > > erscheinen mir doch recht hoch?
> > >
> > >
> > > Als Integrand muss ein Skalarprodukt da stehen.
> > >
> > Und wie mache ich das? Laut deinem Wikieintrag soll ich ja
> > mit dem Vektor von [mm]\bruch{d\gamma}{dt}[/mm] weiterrechnen, dem
> > vektoriellem Wegelement.
> > Bleibt mir ja nur die Möglichkeit ein Skalar zu bilden?
> > Sprich:
> > (11t+36t)*0 + (11t+36t)*3 +(11t+36t)*4 =
> (11t+36t)*(3+4)
> > = (11t+36t)*7 = 77t + 252t²
> > Und das dann zu integrieren nach den gegebenen Grenzen?
>
>
> Nachdem Du meinen letzten Beitrag gelesen hast, habe ich
> diesen
> korrigiert. Darin bin ich zu der Erkenntnis gekommen, dass
> es sich
> doch um
> einKurvenintegral erster Art
> handelt.
>
Okya, alles klar.
Dann also Betrag bilden [mm] |\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}| [/mm] = [mm] \wuzrel{3^2+4^2} [/mm] = 5
und somit
[mm] \integral_{0}^{2}{(11t+36t)*5 dt}
[/mm]
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Hallo Teryosas,
> > Hallo Teryosas,
> >
> > > > Hallo Teryosas,
> > > >
> > > >
> > > > > okay Danke! Das hat schonmal sehr geholfen.
> > > > > für [mm]f(\gamma(t))[/mm] komme ich auf
> > > > > [mm]f(\gamma(t))=[/mm] t*3t+2*t*4t+3*3t*4t = 3t²+8t²+36t²=47t²
> > > >
> > > >
> > > > Nach der gegebenen Parametrisierung muss hier doch stehen:
> > > >
> > > > [mm]f(\gamma(t))=\blue{1}*3t+2*\blue{1}*4t+3*3t*4t[/mm]
> > > >
> > > Ah ja mein Fehler, hab für x ein t statt der 1 benutzt.
> > > hab ich blöderweise verlesen. komme dann auf [mm]f(\gamma(t))= 11t+36t^2=t(11+36t)[/mm]
>
> >
> > >
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> > > >
> > > > > bei [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}[/mm] komme ich auf
> > > > > [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}=(0,3,4)^T[/mm]
> > > > >
> > > > > Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe bin ich hier bei
> > > > > der 2. Art. Also bleib ich bei meinem Vektor anstatt wie
> > > > > beim ersten Fall einen Betrag zu bilden und somit auf ein
> > > > > Skalar zu kommen.
> > > > > Sprich ich komme auf
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(\gamma(t))*\bruch{d\gamma}{dt}dt}=\integral_{0}^{2}{\vektor{0 \\ 141t² \\ 188t²}dt}=\vektor{t \\ \bruch{141t^2}{2} \\ 94t^2}|_{0}^2[/mm]
> > > > > = [mm]\vektor{2 \\ 282 \\ 376}[/mm]
> > > > >
> > > Gerade aufgefallen das ich hier eh nen Fehler gemacht habe
> > > bei dem in der Mitte. Durch vergessen des hoch 2 bei dem y-
> > > und z-Wert habe ich auch im Folgenden bei der Integration
> > > nichts richtiges raus, weil ich mich an das vorherige
> > > gehalten hatte.
> > >
> > > > > Ist das so richtig? Die Zahlen in meinem Ergebnis
> > > > > erscheinen mir doch recht hoch?
> > > >
> > > >
> > > > Als Integrand muss ein Skalarprodukt da stehen.
> > > >
> > > Und wie mache ich das? Laut deinem Wikieintrag soll ich ja
> > > mit dem Vektor von [mm]\bruch{d\gamma}{dt}[/mm] weiterrechnen, dem
> > > vektoriellem Wegelement.
> > > Bleibt mir ja nur die Möglichkeit ein Skalar zu bilden?
> > > Sprich:
> > > (11t+36t)*0 + (11t+36t)*3 +(11t+36t)*4 =
> > (11t+36t)*(3+4)
> > > = (11t+36t)*7 = 77t + 252t²
> > > Und das dann zu integrieren nach den gegebenen
> Grenzen?
> >
> >
> > Nachdem Du meinen letzten Beitrag gelesen hast, habe ich
> > diesen
> > korrigiert. Darin bin ich zu der Erkenntnis gekommen,
> dass
> > es sich
> > doch um
> >
> einKurvenintegral erster Art
> > handelt.
> >
> Okya, alles klar.
> Dann also Betrag bilden [mm]|\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}|[/mm] =
> [mm]\wuzrel{3^2+4^2}[/mm] = 5
> und somit
> [mm]\integral_{0}^{2}{(11t+36t)*5 dt}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\integral_{0}^{2}{(11t+36t^{\blue{2}})*5 dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 So 09.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
> Hallo Teryosas,
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> > > Hallo Teryosas,
> > >
> > > > > Hallo Teryosas,
> > > > >
> > > > >
> > > > > > okay Danke! Das hat schonmal sehr geholfen.
> > > > > > für [mm]f(\gamma(t))[/mm] komme ich auf
> > > > > > [mm]f(\gamma(t))=[/mm] t*3t+2*t*4t+3*3t*4t = 3t²+8t²+36t²=47t²
> > > > >
> > > > >
> > > > > Nach der gegebenen Parametrisierung muss hier doch stehen:
> > > > >
> > > > > [mm]f(\gamma(t))=\blue{1}*3t+2*\blue{1}*4t+3*3t*4t[/mm]
> > > > >
> > > > Ah ja mein Fehler, hab für x ein t statt der 1 benutzt.
> > > > hab ich blöderweise verlesen. komme dann auf [mm]f(\gamma(t))= 11t+36t^2=t(11+36t)[/mm]
>
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> > > > >
> > > > > > bei [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}[/mm] komme ich auf
> > > > > > [mm]\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}=(0,3,4)^T[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe bin ich hier bei
> > > > > > der 2. Art. Also bleib ich bei meinem Vektor anstatt wie
> > > > > > beim ersten Fall einen Betrag zu bilden und somit auf ein
> > > > > > Skalar zu kommen.
> > > > > > Sprich ich komme auf
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(\gamma(t))*\bruch{d\gamma}{dt}dt}=\integral_{0}^{2}{\vektor{0 \\ 141t² \\ 188t²}dt}=\vektor{t \\ \bruch{141t^2}{2} \\ 94t^2}|_{0}^2[/mm]
> > > > > > = [mm]\vektor{2 \\ 282 \\ 376}[/mm]
> > > > > >
> > > > Gerade aufgefallen das ich hier eh nen Fehler gemacht habe
> > > > bei dem in der Mitte. Durch vergessen des hoch 2 bei dem y-
> > > > und z-Wert habe ich auch im Folgenden bei der Integration
> > > > nichts richtiges raus, weil ich mich an das vorherige
> > > > gehalten hatte.
> > > >
> > > > > > Ist das so richtig? Die Zahlen in meinem Ergebnis
> > > > > > erscheinen mir doch recht hoch?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Als Integrand muss ein Skalarprodukt da stehen.
> > > > >
> > > > Und wie mache ich das? Laut deinem Wikieintrag soll ich ja
> > > > mit dem Vektor von [mm]\bruch{d\gamma}{dt}[/mm] weiterrechnen, dem
> > > > vektoriellem Wegelement.
> > > > Bleibt mir ja nur die Möglichkeit ein Skalar zu bilden?
> > > > Sprich:
> > > > (11t+36t)*0 + (11t+36t)*3 +(11t+36t)*4 =
> > > (11t+36t)*(3+4)
> > > > = (11t+36t)*7 = 77t + 252t²
> > > > Und das dann zu integrieren nach den gegebenen
> > Grenzen?
> > >
> > >
> > > Nachdem Du meinen letzten Beitrag gelesen hast, habe ich
> > > diesen
> > > korrigiert. Darin bin ich zu der Erkenntnis
> gekommen,
> > dass
> > > es sich
> > > doch um
> > >
> >
> einKurvenintegral erster Art
> > > handelt.
> > >
> > Okya, alles klar.
> > Dann also Betrag bilden [mm]|\bruch{d\vec{\gamma}}{dt}|[/mm] =
> > [mm]\wuzrel{3^2+4^2}[/mm] = 5
> > und somit
> > [mm]\integral_{0}^{2}{(11t+36t)*5 dt}[/mm]
> >
>
>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{(11t+36t^{\blue{2}})*5 dt}[/mm]
>
Ja gerade blöderweise das hoch 2 vergessen.
Aber dann sollte es ja jetzt richtig sein. Danke!
War echt ne mega gute Hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 So 09.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
sagt die Aufgabe wirklich due sollst f "über" [mm] \gamma [/mm] integrieren. eigentlich muss es längs heissen?
Grußß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 So 09.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
> Hallo
> sagt die Aufgabe wirklich due sollst f "über" [mm]\gamma[/mm]
> integrieren. eigentlich muss es längs heissen?
> Grußß leduart
Gerade nochmal geschaut.
Da steht f über [mm] \vec{\gamma}
[/mm]
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