Funktion: ln(x) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Leiten Sie die Funktion ab... |
Die Funktion lautet f(x) = ln(x)
Wie komme ich jetzt jedoch drauf, dass die Ableitung [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist?
Als Überprüfung haben wir folgende Rechnung, die ich auch nicht komplett verstehe:
f(x) = ln(x) [mm] \* [/mm] x - x
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x} \* [/mm] x + ln(x) [mm] \* [/mm] 1 - 1
= 1 + ln(x) - 1
= ln(x)
Würde also gerne wissen, warum diese Überprüfung richtig ist...wäre also nett, wenn jemand die Rechenschritte korrekt argumentiert wiedergeben könnte...Vor allem warum f(x) = ln(x) das gleiche ist wie f(x) = ln(x) [mm] \* [/mm] x - x
^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Mi 18.10.2006 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
also ich habe eben mal ein wenig gestöbert und bin auf folgendes gestoßen, ich weiß nicht ob es dir hilft, aber ich will es wenigstens probieren.
Also als Ableitungsregel für Umkehrfunktionen gilt:
[mm] f:x\mapsto [/mm] $f(x)$ habe die Umkehrfunktion [mm] f:y\mapsto [/mm] $f(y)$ (kP wie man den querstrich über das f bekommt ^^).
Für [mm] y_0=f(x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0) \not=0 [/mm] gilt: [mm] f'(y_0)=\bruch{1}{f'(x_0)} [/mm] (hier muss wieder ein querstrich über das f)
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[mm] \text{Tachchen,}
[/mm]
[mm] \text{Wollte zwei Sachen nebenbei angemerkt haben:}
[/mm]
[mm] \text{Bitte sage nicht 'Aufleitung', da sträuben sich bei jedem mathematikinteressierten alle Haare. Nimm dir die Zeit und nenne es 'Stammfunktion'.} [/mm] ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
[mm] \text{Zur Umkehrfunktion: Das ist kein Strich über dem f, sondern steht da:}\quad$f^{-1}$
[/mm]
[mm] \text{Kannst ja mal auf die Formel klicken, um zu gucken, wie man das in den Editor eingibt.}
[/mm]
[mm] \text{Schönen Abend,}
[/mm]
[mm] \text{Stefan.} [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Mi 18.10.2006 | | Autor: | MontBlanc |
hallo
nein es ist kein hoch -1 es ist eindeutig ein querstrich über dem f, ich werde ja meine formelsammlung noch richtig lesen können .
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
es gibt verschiedene Schreibweisen, aber es ist:
[mm] \overline{f'}(x)=(f^{-1})'(x)
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
zum Einen:
> Leiten Sie die Funktion ab...
> Die Funktion lautet f(x) = ln(x)
> Wie komme ich jetzt jedoch drauf, dass die Ableitung
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist?
>
[mm] f'(x)=[ln(x)]=\bruch{1}{x}
[/mm]
die Umkehrfunktion zu ln(x) ist ja [mm] e^x [/mm] , d.h. [mm] f^{-1}(ln(x))=e^x
[/mm]
es gilt: [mm] f'(x)=\bruch{1}{(f^{-1})'(f(x))}=\bruch{1}{(f^{-1})'(ln(x))}=\bruch{1}{e^{(ln(x))}}=\bruch{1}{x}
[/mm]
------------- break -----------------
zum Anderen:
> Als Überprüfung haben wir folgende Rechnung, die ich auch
> nicht komplett verstehe:
>
> f(x) = ln(x) [mm]\*[/mm] x - x
Funktion f(x)
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{x} \*[/mm] x + ln(x) [mm]\*[/mm] 1 - 1
 Produktregel
$ (u(x)*v(x))'=u'*v+u*v' $
u=ln(x) und u'=1/x
v=x und v'=1
> ...Vor allem warum
> f(x) = ln(x) das gleiche ist wie f(x) = ln(x) [mm]\*[/mm] x - x
die Funktionen sind nicht gleich - du hast das Ableitungszeichen unterschlagen.
[mm] f\red{'}(x)=ln(x) [/mm]
wende die Produktregel an, dann wirst du sicher auf das Ergebnis kommen.
Liebe Grüße
Herby
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Vielen Dank!
DoktorQuagga
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