Funktion in welchem Raum? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
es geht um die Funktion
f(x) = [mm] \begin{cases} \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in [1,\infty) \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}.
[/mm]
Ich würde mal schätzen, dass f(x) [mm] \in L_2( \mathbb{R} [/mm] ) liegt, aber f(x) [mm] \notin L_1( \mathbb{R} [/mm] ),
wegen der Konvergenz von [mm] \sum \frac{1}{n^2} [/mm] und der Divergenz der harmonischen Reihe [mm] \sum \frac{1}{n} [/mm] und das Integral ja so etwas wie eine Summe ist...
Wie kann ich aber die Beh. mit Integral zeigen?
Ich muss ja zeigen, dass
[mm] \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \rightarrow \infty
[/mm]
und
[mm] \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} [/mm] < [mm] \infty, [/mm] oder?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mo 09.03.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo,
> es geht um die Funktion
> f(x) = [mm]\begin{cases} \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in [1,\infty) \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}.[/mm]
>
> Ich würde mal schätzen, dass f(x) [mm]\in L_2( \mathbb{R}[/mm] )
> liegt, aber f(x) [mm]\notin L_1( \mathbb{R}[/mm] ),
>
> wegen der Konvergenz von [mm]\sum \frac{1}{n^2}[/mm] und der
> Divergenz der harmonischen Reihe [mm]\sum \frac{1}{n}[/mm] und das
> Integral ja so etwas wie eine Summe ist...
>
> Wie kann ich aber die Beh. mit Integral zeigen?
> Ich muss ja zeigen, dass
> [mm]\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \rightarrow \infty[/mm]
Bilde hier
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\int_{1}^{b} \frac{1}{x}
[/mm]
und zeige dass der Grenzwert nicht existiert.
>
> und
>
> [mm]\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}[/mm] < [mm]\infty,[/mm] oder?
>
Bilde hier
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\int_{1}^{b} \frac{1}{x^2}
[/mm]
und zeige, dass dieser Grenzwert existiert.
Tip: Integrale ganz normal mit Hilfe von Stammfunktion berechnen
Gruß Glie
> Viele Grüße,
> Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo glie,
danke für die Antwort! Hab es nun so gemacht:
[mm] \lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^b \frac{1}{x} [/mm] dx = [mm] \lim_{b \rightarrow \infty} [/mm] (ln|b| - ln(1)) = [mm] \lim_{b \rightarrow \infty} [/mm] ln|b| = [mm] \infty,
[/mm]
obwohl der ln doch nur sehr langsam wächst, oder?
Das andere Integral: [mm] \lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} [/mm] dx = [mm] \lim_{b \rightarrow \infty} [/mm] (- [mm] \frac{1}{b} [/mm] + 1) = 1.
Stimmt das so?
Viele Grüße & vielen Dank
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab nochmal eine Funktion von der man entscheiden soll ob sie in [mm] L_1(\mathbb{R}) [/mm] oder [mm] L_2(\mathbb{R}) [/mm] ist.
sinc(x) = [mm] \begin{cases} \frac{sin(\pi x)}{\pi x}, & \mbox{für } x \not=0 \\ 1, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist nach folgender Rechnung wohl nicht in [mm] L_1(\mathbb{R}):
[/mm]
[mm] \int_0^n [/mm] |sinc(x)| dx = [mm] \sum_{k=1}^n \int_{k-1}^k \frac{sin(\pi x)}{\pi x} [/mm] dx
[mm] \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi k} \int_{k-1}^k |sin(\pi [/mm] x)| dx
[mm] \geq \sum_{k=1}^n \frac{2}{\pi^2 k} \rightarrow \infty [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
Wie kommt man auf eine solche Abschätzung?
Betrachtet man den Betrag der Funktion von 0 bis n da sie an der y-Achse spieglich ist?
Im ersten Schritt hat man dann eine Summe und Integral, kann ma die einzelnen Perioden einfach so aufsummieren?
Und wie kommt man dann auf die Abschätzungen nach unten?
Hm, und wie kann ich dann herausfinden ob sie aus [mm] L_2 [/mm] ist?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. das Integral in Stueck der perodenlaenge von [mm] |sin\pi [/mm] x| zu unterteilen ist naheliegend.
dann f,g>0: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)*g(x) dx}\ge min_{x\in[a,b]}(g(x)*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.
[/mm]
und das [mm] \integral_{a}^{b}{sin\\pi*x) dx} [/mm] kannst du ja wohl
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die Antwort!
> und das [mm]\integral_{a}^{b}{sin\\pi*x) dx}[/mm] kannst du ja wohl
Ja, danke, das hab ich geschafft... aber nochmal zur Sicherheit:
[mm] \int_{k-1}^k |sin(\pi [/mm] x)| dx [mm] =\frac{1}{\pi} [-cos(\pi [/mm] x) [mm] |_{k-1}^k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}( (-cos\pi [/mm] k) + cos [mm] (\pi(k-1))) [/mm] = -2/ [mm] \pi.
[/mm]
Hm, aber eigentlich hab ich den Betrag nun gar nicht beachtet, muss ich das dann doch anders machen?
> 1. das Integral in Stueck der perodenlaenge von [mm]|sin\pi[/mm] x|
> zu unterteilen ist naheliegend.
> dann f,g>0: [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)*g(x) dx}\ge min_{x\in[a,b]}(g(x)*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.[/mm]
Hierzu hab ich aber noch eine Frage.Ist es so:
[mm] \sum_{k=1}^n \int_{k-1}^k \frac{sin(\pi x)}{\pi x} [/mm] dx [mm] \geq \sum_{k=1}^n min_{x \in [k-1,k]} \frac{1}{\pi x} \int_{k-1}^k |sin(\pi [/mm] x) |dx
= [mm] \sum \frac{1}{\pi k} \int_{k-1}^k |sin(\pi [/mm] x)| dx.
Stimmt das so? Aber wo kommt der Betrag her? Und warum gilt die Abschätzung? Das Min geht nur um g(x), oder? (Bei dir fehlt die "Klammer zu" ...)
Und zur Frage ob das Teil aus [mm] L_2 [/mm] ist, muss ich anschauen
[mm] \int_0^n (\frac{sin(\pi x)}{\pi x})^2 [/mm] , hast du hier noch einen Tipp für mich?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ne Summe ueber [mm] a_ib_i [/mm] hast kannst du doch auch das groesste [mm] b_i [/mm] rausziehen
also [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i*b_i\le [/mm] max [mm] b_i *\summe_{i=1}^{n}a_i
[/mm]
und [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i\le \summe_{i=1}^{n}|a_i|
[/mm]
das uebertraegt sich direkt auf das Integral als GW der Summen.
Dein Integral ist vom Vorzeichen falsch. sinx ist doch abwechseln pos und negativ das Integral ueber den Betrag ist dasselbe wie uber [mm] sin\pi*x [/mm] von 0 bis 1 und damit positiv.
Du muesstest wissen, dass das Integral ueber ne pos. fkt pos ist!
bei [mm] sin^2x/x^2 [/mm] gehst du genauso vor, das [mm] sin^2x\ge [/mm] 0 brauchst du nur kein Betrag.
Wenn du das aber mit dem vorigen Integral genauer machst, also ohne betrag, bekommst du eine alternierende Summe,
immer im Intervall wo sin pos ist und danach eines wo der sin und damit das integral negativ ist. also lass den betrag weg. und das integral konv. als leibnitzsumme.
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 10.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die Antworten. So ganz versteh ich das mit dem Integral aber noch nicht. Wenn ich das auch einfach von 0 bis 1 betrachten kann hab ich
[mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi k} \int_{k-1}^k |sin(\pi [/mm] x)| dx
= [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi k} \int_{0}^1 sin(\pi [/mm] x) dx
= [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi^2 k} (-cos(\pi) [/mm] + cos(0))
= [mm] \sum_{k=1}^n \frac{2}{\pi^2 k}. [/mm] Stimmt das nun so?
Hm, wenn ich das für [mm] L_2 [/mm] nun genauso mache lande ich hier:
[mm] \int_0^n \frac{sin^2(\pi x)}{x^2} [/mm] dx [mm] \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi k} \int_{k-1}^k sin^2(\pi [/mm] x) dx
= [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{2\pi k} [/mm] (x + [mm] \frac{1}{2 \pi} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] x) [mm] |_{k-1}^k [/mm] (Begründung siehe unten)
= [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{2 \pi k} \rightarrow \infty [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
Das Integral hab ich so ausgerechnet:
[mm] \int sin^2(\pi [/mm] x) dx = [mm] \frac{1}{2} \int [/mm] (1-cos(2 [mm] \pi [/mm] x)) dx = [mm] \frac{1}{2}(x [/mm] + [mm] \frac{1}{2 \pi} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] x) + c.
Dann ist [mm] \int_{k-1}^k sin^2(\pi [/mm] x) dx = [mm] \frac{1}{2}( [/mm] x + [mm] \frac{1}{2 \pi} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] x) [mm] |_{k-1}^k [/mm]
= k + [mm] \frac{1}{2 \pi} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] k) - k + 1 - [mm] \frac{1}{2 \pi} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] (k-1))
= 1 + [mm] \frac{1}{2 \pi} [/mm] (0-0) = 1.
Stimmt das alles so?
Demnach wäre f(x) also auch nicht in [mm] L_2(\mathbb{R}) [/mm] ?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hast du meinen Hinweis zu der alternierenden summe bisher nicht beachtet.
2. warum ziehst du als [mm] Min(1/x^2) [/mm] 1/k und nicht [mm] 1/k^2 [/mm] vor das Integral?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 10.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
> 1. hast du meinen Hinweis zu der alternierenden summe
> bisher nicht beachtet.
Weil ich nicht verstanden habe, wie ich den Betrag einfach weglassen kann? Geht es nicht auch so auf ersterem Weg, dass man sich nur das Intervall von 0 bis 1 anschaut?
> 2. warum ziehst du als [mm]Min(1/x^2)[/mm] 1/k und nicht [mm]1/k^2[/mm] vor
> das Integral?
Das hab ich falsch gemacht. D.h. die Reihe konvergiert für [mm] n\rightarrow \infty [/mm] ja dann doch und ist in [mm] L_2(\mathbb{R}), [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ueberleg mal von wo bis wo jeweils sin negativ und wo pos. ist. jetzt teil dein Integral in entsprechende Stuecke auf und schaetze die einzelnen Stuecke ab.
Dann sieh dir die so entstandene Reihe an!
vielleicht zeichnest du mal sinx/x ein Stueck weit und siehst was passiert, irgendwie wurschtelst du ohne jede Anschauliche Hilfe hier mit Formeln rum. Wenn man sieht was man macht kann man vielleicht auch zielgerichteter arbeiten !
Gruss leduart!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Di 10.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
> ueberleg mal von wo bis wo jeweils sin negativ und wo pos.
> ist. jetzt teil dein Integral in entsprechende Stuecke auf
> und schaetze die einzelnen Stuecke ab.
Sin(x) ist von 0 bis [mm] \pi, 2\pi [/mm] bis [mm] 3\pi, [/mm] ... etc also für [mm] (k-1)\pi [/mm] bis k [mm] \pi [/mm] wobei k ungerade ist positiv. Also hab ich die Integrale
[mm] \int_0^1 [/mm] f(x) dx + [mm] \int_1^2 [/mm] f(x) dx + ... + [mm] \int_{n-1}^n [/mm] f(x) dx.
Aha, d.h. ich kann also in dem 1., 3., 5., usw. Integral den Betrag weglassen, bei den andren muss ich ein Minus davorschreiben. Aber was bleibt noch übrig, da müsste ich ja wissen ob n gerade oder ungerade ist??
Was bleibt dann noch übrig?
Was hasttest du mit Leibnitz summe gemeint? Aber warum konvrgiert das, ich dachte die Reihe soll divergieren?
> vielleicht zeichnest du mal sinx/x ein Stueck weit und
> siehst was passiert, irgendwie wurschtelst du ohne jede
> Anschauliche Hilfe hier mit Formeln rum. Wenn man sieht was
> man macht kann man vielleicht auch zielgerichteter arbeiten
![[]](/images/popup.gif) Hier bei Wiki habe ich mir die Funktion angesehen. Die Summe muss ja dann unendlich werden... aber wie ich das nun richtig aufschreiben muss, ist mir noch nicht klar (s.oben).
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Entschuldige, ich hatte uebersehen, dass du ja nicht wissen willst ob das ueneigentliche Integral ueber sinx/x existiert, (was es tut) sondern ob der Betrag integrierbar ist. d.h. ob es zu [mm] L_1 [/mm] gehoert. Und da haben wir ja gezeigt, dass das nicht der Fall ist. Dagegen ist sinx/x quadratintegrierbar also ist sinx/x in [mm] L_2
[/mm]
Das andere mit der alternierenden Reihe kannst du vergessen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 10.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
aber das Problem war doch, wie ich
[mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi k} \int_0^1 |sin(\pi [/mm] x)| korrekt intergrieren kann.
Die letzte Version mit [mm] \int_0^1 [/mm] (...) kann ja nicht richtig sein, oder muss ich so etwas wie n [mm] \cdot \int_0^1 [/mm] (...) nehmen?
Das hab ich doch irgendwie falsch gemacht, auch wenn ich zu dem Schluss kam, dass es zu [mm] L_1 [/mm] gehört.
Hilfst du mir damit bitte noch?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] |sin\pi*x| [/mm] ist doch periodisch mit der periode 1. ob du also von 0 bis 1 oder von 100 bis 101 integrierst ist egal.
aber zwischen 0 und 1 ist [mm] |sin\pi*x|=sin\pi*x) [/mm] deshalb muss man da nicht viel denken.
ich dachte das hatten wir alles schon?
Hast du dir einmal die fkt [mm] |sin\pi [/mm] x| angesehen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 10.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
> [mm]|sin\pi*x|[/mm] ist doch periodisch mit der periode 1. ob du
> also von 0 bis 1 oder von 100 bis 101 integrierst ist
> egal.
Ja schon, aber da steht ja nicht nur einmal das Integral, sondern die Summe von den Integralen
[mm] \sum_{k=1}^n \int_{k-1}^k |sin(\pi [/mm] x)| dx, d.h. ich habe doch eigentlich für jedes k ein solches Integral - achso, aber die Summe bleibt ja stehen.
Ok, dann hab ichs verstanden  Vielen Dank für deine geduldige Hilfe!
Viele Grüße,
Riley
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