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Funktion in Potenzreihe entw.: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Mo 04.01.2010
Autor: rmadrid7andi

Aufgabe
Entwickeln Sie die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{4-x} [/mm] in eine Potenzreihe um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] = 0. Für welche x liegt Konvergenz vor?


Hallo,

also irgendwie komme ich mit dem Beispiel nicht ganz zurecht und bitte deswegen um Hilfe ;)

Also mein Ansatz wäre gewesen:

f(x) in die allg. Taylorreihe zu entwickeln, das habe ich wie folgt versucht:
ich habe f(x) umgeschrieben auf f(x) = [mm] (4-x)^{-1} [/mm] --> die "n-te" Ableitung lautet dann: [mm] f^{n}(x_0) [/mm] = n! [mm] (4-0)^{-(n+1)} [/mm] .

Diesen Ausdruck habe ich dann in die allgemeine Form d. Taylorpolynoms eingesetzt --> Fakultäten kürzen ich schön raus und erhalte dabei:


[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x}{4*4^{n}} [/mm]

Die x-Werte für die die Reihe konvergent ist stellen an und für sich kein großes Problem dar. Danke für eure Hilfe.

Lg, Andi :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Funktion in Potenzreihe entw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Mo 04.01.2010
Autor: leduart

Hallo
am einfachsten ist hier die geometrische Reihe zu benutzen, nachdem du im Nenner 4 ausgeklammert hast. dann siehst du auch, dass dein Ergebnis richtig ist. und den Konvergenzradius x/4<1 auch gleich.
Aber dein vorgehen ist natuerlich auch richtig.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Funktion in Potenzreihe entw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Mo 04.01.2010
Autor: fencheltee

muss es nicht [mm] x^n [/mm] im zähler der reihe heissen?

gruß tee

Bezug
                        
Bezug
Funktion in Potenzreihe entw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:01 Mo 04.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo ft,

ja, muss es natürlich! Wahrscheinlich vertippt ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Funktion in Potenzreihe entw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Mo 04.01.2010
Autor: rmadrid7andi

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Nur um kurz die zweite Möglichkeit zu behandeln würde die Reihenentwicklung über die geometrische Riehe dann wie folgt aussehen:

[mm] \bruch{1}{4(1-\bruch{x}{4})} [/mm] daraus ergibt sich dann für die Reihe:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{x^{n}}{4^{n}} [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Funktion in Potenzreihe entw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Mo 04.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Vielen Dank für die schnelle Antwort. Nur um kurz die
> zweite Möglichkeit zu behandeln würde die
> Reihenentwicklung über die geometrische Riehe dann wie
> folgt aussehen:
>  
> [mm]\bruch{1}{4(1-\bruch{x}{4})}[/mm] daraus ergibt sich dann für
> die Reihe:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{4}[/mm] * [mm]\bruch{x^{n}}{4^{n}}[/mm] [ok]

Ja, ganz recht, in "noch schönerer Darstellung" dann [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^{n+1}}\cdot{}x^n$ [/mm]


LG

schachuzipus


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