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| Aufgabe | Untersuchen Sie auf gleichmässige Stetigkeit:
[mm] g:(0,\infty)->R,x->1/x [/mm] |
Hi ich habe folgenden Beweis, dass Sie glm. stetig ist:
[mm] \delta:=\varepsilon/x
[/mm]
[mm] |x-y|<\delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] /x < [mm] \varepsilon
[/mm]
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Hallo,
> Untersuchen Sie auf gleichmässige Stetigkeit:
> [mm]g:(0,\infty)->R,x->1/x[/mm]
> Hi ich habe folgenden Beweis, dass Sie glm. stetig ist:
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> [mm]\delta:=\varepsilon/x[/mm]
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> [mm]|x-y|<\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] /x < [mm]\varepsilon[/mm]
Dein Beweis ist falsch! Das [mm] $\delta$ [/mm] darf nicht von $x$ abhängen, es muss ja eine Konstante sein.
Du kannst schnell sehen, dass die Funktion auf $[1, [mm] \infty) [/mm] glm. stetig ist, denn dort ist sie Lipschitz-stetig. Daraus kann man dann auch schnell sehen, dass die Funktion auf jedem Interval [mm] $I=(x,\infty)$ [/mm] (bzw. [mm] $I=[x,\infty)$) [/mm] glm. stetig ist, falls $x>0$.
Auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ist sie aber nicht glm. stetig!
Um das zu zeigen wähle z.B. [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] und wähle ohne Einschränkung [mm] $\delta \in [/mm] (0,1)$ beliebig.
Betrachte [mm] $x=\delta/2, y=\delta$. [/mm] Was folgt für $|g(x)-g(y)|$?
Als einfache abschließende Frage noch: Warum darf man oben [mm] $\delta$ [/mm] o.E. aus $(0,1)$ wählen?
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