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| Aufgabe | Seien [mm] f:\IR^{n}\to\IR, f(x):=exp(-\bruch{1}{1-||x||^{2}}) [/mm] für ||x||<1 sonst f(x)=0
[mm] M:=\integral_{\IR^{n}}f
[/mm]
für [mm] \varepsilon>0
[/mm]
[mm] f_{\varepsilon}(x):=\bruch{1}{M*\varepsilon^{n}}*f(\bruch{x}{\varepsilon})
[/mm]
[mm] \Omega\subset\IR^{n} [/mm] offen, [mm] K\subset\Omega [/mm] kompakt
Gesucht: [mm] g\in\mathcal{C}_{c}^{\infty}(\Omega) [/mm] mit $ [mm] 0\le g\le [/mm] 1 $ und $ g=1 $ in K
a) Z. z.: [mm] \exists \delta>0: B_{\delta}(K)\subset\Omega
[/mm]
b) Sei [mm] \delta [/mm] wie in a)
z.z.: [mm] g:=f_{\bruch{\delta}{4}}\* \mathds{1}_{B_{\bruch{\delta}{2}(K)}} [/mm] erfüllt die angebenen Eigenschaften. |
Hallo!
So bei a) ist erstmal klar, dass es für alle $ [mm] x\in [/mm] K [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ gibt mit [mm] B_{\varepsilon}(x)\subset\Omega
[/mm]
Nach dem Auswahlaxiom existiert also eine Funktion [mm] \epsilon:K\to(0,\infty) [/mm] mit [mm] B_{\epsilon(x)}(x)\subset\Omega [/mm] $ [mm] \forall x\in [/mm] K $
Warum aber gibt es auch eine stetige Funktion sodass [mm] \underset{x\in K}{min}(\epsilon(x)) [/mm] existiert und das dann so ein [mm] \delta [/mm] ist?
Bei b), oh Gott, was ist das hässlich...überhaupt erstmal die Faltung da auszurechnen...
[mm] (f_{\bruch{\delta}{4}}\* \mathds{1}_{B_{\bruch{\delta}{2}(K)}})(x)
[/mm]
[mm] =\integral_{\IR^{n}}(f_{\bruch{\delta}{4}}(y)*\mathds{1}_{B_{\bruch{\delta}{2}(K)}}(x-y)dy)
[/mm]
[mm] =\bruch{4*exp(-\bruch{1}{1-\bruch{16}{\delta^{2}}||x||^{2}})}{\delta*\integral_{B_{1}(0)}(exp(-\bruch{1}{1-||x||^{2}})dx)}*\integral_{B_{\bruch{4}{\delta}(0)}}(\mathds{1}_{B_{\bruch{\delta}{2}(K)}}(x-y)dy)
[/mm]
soweit erstmal richtig?
bis jetzt nur klar, $ [mm] g\ge [/mm] 0 $ Aber der Rest? [mm] g\le [/mm] 1, =1 in K und überhaupt Glattheit...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Do 12.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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