Funktion differenzierbar? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mo 11.12.2006 | | Autor: | patb |
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich Ableitungen. Wenn man alle Stellen angeben soll, an denen eine Funktion differenzierbar ist - wie macht man das?
Ich kenne Ableitungen bisher nur als Ableitung einer Funktion, aus f(x) = [mm] x^{3} [/mm] wird z.B. f'(x) = [mm] 3x^{2}.
[/mm]
Aber wie gebe ich an, an welchen Stellen sie differenzierbar ist? Als Beispiel hier die folgende Funktion:
f(x) = [mm] \wurzel{|x|}
[/mm]
Vielen Dank!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo patb,
durch den Betrag ist die Funktion an jeder Stelle diffbar.
Überhaupt sind Funktionen überall diffbar wo sie auch definiert sind. Man gibt dann den Definitionsbereich an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Dally |
> durch den Betrag ist die Funktion an jeder Stelle diffbar.
> Überhaupt sind Funktionen überall diffbar wo sie auch
> definiert sind.
Also wenn ich mich recht erinnere ist eine Funktion nicht zwangsläufig differenzierbar, nur weil sie an einer Stelle definiert ist.
Die Betragsfunktion f(x)=|x| ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar aber trotzdem definiert.
Um differenzierbarkeit zu zeigen musste an doch normalerweise den Grenzwert der ersten Ableitung/des Differenzenquotienten bilden bzw. man muss zeigen das dieser Grenzwert existent ist. Oder?
Falls ich mich irren sollte, Asche über mein Haupt.
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Schade, ich war so überzeugt von meiner Antwort, aber du hast natürlich recht, dass |x| an der Stelle 0 nicht diffbar ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Lueger |
Hallo....
> Also wenn ich mich recht erinnere ist eine Funktion nicht
> zwangsläufig differenzierbar, nur weil sie an einer Stelle
> definiert ist.
Stimmt!
> Die Betragsfunktion f(x)=|x| ist an der Stelle x = 0 nicht
> differenzierbar aber trotzdem definiert.
> Um differenzierbarkeit zu zeigen musste an doch
> normalerweise den Grenzwert der ersten Ableitung/des
> Differenzenquotienten bilden bzw. man muss zeigen das
> dieser Grenzwert existent ist. Oder?
> Falls ich mich irren sollte, Asche über mein Haupt.
Also für den Nachweiß der Differenzierbarkeit gibt es zwei Möglichkeiten.
1. Diff. qoutient. (meinstens extrem spaßig :-D)
ist die Funktion diff. ist sie auch stetig!!!
2. Stetigkeit überprüfen
[mm] \limes_{x\rightarrow\x0-}f(x)=\limes_{x\rightarrow\x0+}f(x)=f(x0)
[/mm]
und dann Differenzierbarkeit
Bedingung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\x0-}f'(x)=\limes_{x\rightarrow\x0+}f'(x)
[/mm]
UND sie muss an der Stelle stetig!
Gruß
Lueger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mo 11.12.2006 | | Autor: | patb |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten - es ist jetzt schon etwas spät, aber morgen werde ich mich daran setzen, und es mit Euren Tipps/Lösungsvorschlägen versuchen.
Sollten sich dabei Fragen ergeben, würde ich mich freuen wenn ich in diesem Thread dann nochmal darauf eingehen darf :)
Danke nochmals, bis evtl. morgen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Di 12.12.2006 | | Autor: | patb |
Ich muss zugeben, nachdem ich mich damit beschäftigt habe kann ich die Aufgabe immer noch nicht lösen. Könntet ihr mir vielleicht die Aufgabe für das Beispiel an f(x) = [mm] \wurzel{|x|} [/mm] einmal vorrechnen? Ich habe hier noch mehr Aufgaben, die ich dann mit Hilfe des Beispiels selbst rechnen könnte.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Di 12.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo patb!
Zerlege Deine Funktion gemäß der Betragsfunktionsdefinition:
[mm] \wurzel{|x|}=\begin{cases} \wurzel{-x}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ \wurzel{+x}, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Und nun must Du für beide Seiten (also rechtsseitig und linksseitig) die Existenz des Differenzenquotienten nachweisen und überprüfen:
linksseitig: [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0-h)-f(0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{-(-h)}-0}{h} [/mm] \ = \ ...$
rechtsseitig: [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{h}-0}{h} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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> linksseitig: [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0-h)-f(0)}{h} \ = \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{-(-h)}-0}{h} \ = \ ...[/mm]
>
> rechtsseitig: [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h} \ = \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{h}-0}{h} \ = \ ...[/mm]
>
dann bekommt man doch für beide fälle [mm] \bruch{\wurzel{h}}{h}
[/mm]
lim von [mm] \bruch{\wurzel{h} }{h} [/mm] =oo
oder muss ich beim linksseitgen teil eine negative zahl einsetzen z.b -0,000000000001 und negatibe wurzeln sind nicht definiert, also ist die funktion nicht differenzierbar..
aber ich dachte, dass mit linksseitgen teil schon mit -(0-h) (betonung auf MINUS h!!!!) berücksichtigt wurde.
das hieß dann doch, dass die funktion überall differenzierbar wäre
>
> Gruß
> Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Do 20.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Loddar meinte beim linksseitigen Grenzwert auch sicher f(0+h) und nicht f(0-h).
Rechne das damit am besten nochmal :)
Alternativ würde ich so argumentieren: (musst du aber natürlich nicht!)
Die Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, da f(x)=f(-x).
Damit gilt für ihre Ableitung: f'(x)=-f'(-x), also die Tangente haben nur ein unterschiedliches Vorzeichen, wenn man sich z.B. die Tangenten bei x=1 und x=-1 anguckt [mm] (m_1=\bruch{1}{2}, m_{-1}=-\bruch{1}{2}).
[/mm]
Da der Anstieg der Funktion für x->0 von rechts gegen [mm] \infty [/mm] geht, muss er von links also gegen [mm] -\infty [/mm] gehen.
Demnach stimmen rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert nicht überein und die Funktion ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 20.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vielleicht mal ein wenig ergänzend:
[mm] $f(x)=\wurzel(|x|)$
[/mm]
Die Funktion ist in allen [mm] x\not=0 [/mm] differenzierbar, weil man sie dort als Verkettung differenzierbarer Funktionen schreiben kann (unterscheide die Fälle x < 0 und x > 0).
Und was Loddar meinte:
Man berechnet in [mm] x_0=0 [/mm] den rechtsseitigen Limes so:
Sei stets h [mm] \in \IR [/mm] mit h > 0. Dann prüft man, ob
[mm] lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm]
existiert.
Beim Linksseitigen wäre das mit h > 0 so zu schreiben:
[mm] lim_{h \to 0}\frac{f(0-h)-f(0)}{-h} [/mm]
Oder man sagt, dass dort h < 0 sein soll, dann sieht es formal erstmal genauso wie beim rechtsseitigen aus, aber hier ist halt h < 0 (beim rechtsseitigen ist h > 0):
[mm] lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm]
Übrigens:
Sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Limes sind hier [mm] $=\infty$. [/mm]
Der linksseitige ist [mm] $-\infty$, [/mm] der rechtsseitige ist [mm] $+\infty$.
[/mm]
Aber selbst, wenn sie gleich wären:
Schau nochmal genau nach, wann die Funktion in [mm] $x_0=0$ [/mm] differenzierbar wäre. Da steht nämlich normalerweise -wenn die Gleichheit dieser Grenzwerte vorhanden ist - ein Zusatz von der Endlichkeit dieser Grenzwerte (bzw. wegen der Gleichheit: dieses Grenzwertes) (d.h. sie sollen [mm] $\in \IR$ [/mm] sein), wenn man sagt, dass f an dieser Stelle differenzierbar sei...
Und [mm] $\pm\infty$ [/mm] ist sicher keine endliche Zahl [mm] ($\pm\infty \notin \IR$). [/mm]
Gruß,
Marcel
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Grundsätzlich musst du allgemein den Differenzenquotienten hinschreiben und den Limes bilden. Bei Besonderheiten wie hier sind ggf. spezielle Punkte nochmals gesondert zu betrachten.
[mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=\bruch{\wurzel{|x|}-\wurzel{|a|}}{x-a}=
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{|x|}-\wurzel{|a|})(\wurzel{|x|}+\wurzel{|a|})}{(x-a)(\wurzel{|x|}+\wurzel{|a|)}}=
[/mm]
[mm] \bruch{(|x|-|a|)}{(x-a)(\wurzel{|x|}+\wurzel{|a|})}
[/mm]
Ist nun [mm] a\not=0 [/mm] und bildet man [mm] \limes_{x\rightarrow a}, [/mm] so hat x "zum Schluss" das selbe Vorzeichen wie a, und man erhält für
[mm] \bruch{(|x|-|a|)}{x-a} [/mm] den Wert 1, falls a>0 und den Wert -1, falls a<0. Der Restfaktor
[mm] \bruch{1}{(\wurzel{|x|}+\wurzel{|a|})} [/mm] gibt dann den Wert [mm] \bruch{1}{2\wurzel{|a|})}.
[/mm]
Somit ist f(x) für jede Stelle a [mm] \not= [/mm] 0 differenzierbar.
Für a=0 ergibt sich gesondert:
[mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\bruch{\wurzel{|x|}}{x}==\bruch{\wurzel{|x|}\wurzel{|x|}}{x\wurzel{|x|}}=\bruch{|x|}{x\wurzel{|x|}}.
[/mm]
Je nachdem, ob x von links oder rechts auf 0 zuläuft, ist [mm] \bruch{|x|}{x} [/mm] 1 oder -1. Der restliche Faktor [mm] \bruch{1}{\wurzel{|x|}} [/mm] geht für x nach 0 nach unendlich, so dass also die Ableitung für a=0 nicht existiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Marcel |
> Grundsätzlich musst du allgemein den Differenzenquotienten
> hinschreiben und den Limes bilden. Bei Besonderheiten wie
> hier sind ggf. spezielle Punkte nochmals gesondert zu
> betrachten.
Hallo,
das ist nicht richtig, dass man das machen "muss". Betrachten wir nochmal die auf [mm] $\IR$ [/mm] definierte Funktion [mm] $f(x)=\wurzel{|x|}$. [/mm] Jetzt schränken wir diese Funktion auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] ein und nennen sie $k$, also:
$k: [mm] \IR_{>0} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $k(x):=\wurzel{|x|}$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $k(x)=\wurzel{x}$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR_{>0}$.
[/mm]
Und dort ist klar, dass $k$ differenzierbar ist und wie $k'$ aussieht, also weiß man auch, dass $f'(x)$ für $x > 0$ existiert und was $f'(x)$ für $x>0$ ist.
Wenn wir $f$ nun auf [mm] $\IR_{<0}$ [/mm] einschränken, so gilt:
$f(x)=g(h(x))$ mit $h(x):=-x$ für alle $x < 0$ und [mm] $g(x)=\wurzel{x}$. [/mm] Und dann ist auch klar, wie man $f'(x)$ für alle $x<0$ berechnet.
Man sollte natürlich nachgucken, welche Voraussetzungen $g$ und $h$ erfüllen müssen, damit $g [mm] \circ [/mm] h$ als verkettete Funktion diff'bar ist, aber die sind hier alle erfüllt.
Die einzige problematische Stelle ist in dem obigen Falle von $f$ einfach [mm] $x_0=0$. [/mm] Da muss man halt aufpassen und explizit mit dem Diff'quotienten arbeiten. Aber wenn man gewisse Sätze zur Hand hat (Verknüpfungen diff'barer Funktionen sind diff'bar, Produkte, etc.), wobei man natürlich immer penibel nachgucken sollte, ob alle Voraussetzungen erfüllt sind, so dass der Satz anwendbar ist, dann sollte man das ausnutzen. Es erspart unnötige Rechnerei...
So erhält man nämlich sofort :
[mm] $f'(x)=\begin{cases} \frac{1}{2\wurzel{x}}, & \mbox{für } x > 0 \\ -\frac{1}{2\sqrt{-x}} & \mbox{für } x<0 \end{cases}=\begin{cases} \frac{1}{2\wurzel{|x|}}, & \mbox{für } x > 0 \\ -\frac{1}{2\sqrt{|x|}} & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Di 25.12.2007 | | Autor: | Hund |
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
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