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| Aufgabe | | Entscheiden Sie, ob die Funktion f:IR -> IR; [mm] f(x)=x-log(1+x^2) [/mm] bijektiv ist. |
Bei der Injektivität hab ich keine Ahnung, wie ich das beweisen soll. Bis jetzt bin ich soweit:
Eine Funktion ist injektiv, wenn für alle x,y [mm] \in [/mm] IR f(x)=f(y) [mm] \rightarrow [/mm] x=y.
Seien x,y [mm] \in [/mm] IR.
Muss ich jetzt einfach [mm] x-log(1+x^2)=y-log(1+y^2) [/mm] setzen und habe es dann schon?
Zur Surjektivität:
Eine Funktion ist surjektiv, wenn für alle y [mm] \in [/mm] IR ein x [mm] \in [/mm] IR existiert und daraus f(x)=y folgt.
f(x)=x-log 1-log [mm] x^2=x-\bruch{2}{x}
[/mm]
Wenn man da nun 2 einsetzt, ergibt das 0 und ist deswegen ein Widerspruch.
Ist wohl einiges falsch, könnte man mir bitte einen "Standardweg" zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Entscheiden Sie, ob die Funktion f:IR -> IR;
> [mm]f(x)=x-log(1+x^2)[/mm] bijektiv ist.
> Bei der Injektivität hab ich keine Ahnung, wie ich das
> beweisen soll. Bis jetzt bin ich soweit:
> Eine Funktion ist injektiv, wenn für alle x,y [mm]\in[/mm] IR
> f(x)=f(y) [mm]\rightarrow[/mm] x=y.
> Seien x,y [mm]\in[/mm] IR.
> Muss ich jetzt einfach [mm]x-log(1+x^2)=y-log(1+y^2)[/mm] setzen
> und habe es dann schon?
Nein, jetzt geht der 'Spaß' erst los: jetzt musst du zeigen, dass aus obiger Gleichung x=y folgt!
Mal eine Frage (wobei ich befürchte, die Antwort zu kennen): Differenzialrechnung darf nicht zufällig verwendet werden?
> Zur Surjektivität:
> Eine Funktion ist surjektiv, wenn für alle y [mm]\in[/mm] IR ein x
> [mm]\in[/mm] IR existiert und daraus f(x)=y folgt.
> f(x)=x-log 1-log [mm]x^2=x-\bruch{2}{x}[/mm]
> Wenn man da nun 2 einsetzt, ergibt das 0 und ist deswegen
> ein Widerspruch.
Das verstehe ich nicht, was du hier versucht hast. Für die Surjejtivität würde ich versuchen
[mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty ; \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty [/mm]
nachzuweisen.
Und einen Standardweg sehe ich auch nicht. Die Aufgabe sieht für mich relativ anspruchsvoll aus, so dass ich auch noch nicht durch bin. Aber eines kann ich dir versichern (das hilft ja doch manchmal, wenn man das Ziel vor Augen hat): das Ding ist bijektiv.
Gruß, Diophant
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Und wie kriege ich x=y raus? Es steht ja auf beiden Seiten das gleiche. In der Aufgabe ist keine Restriktion, also darf man Differenzialrechnung verwenden.
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} x-log(1+x^{2})=x-log(1)-logx^{2}=x-log x^{2}
[/mm]
Da log [mm] x^{2} [/mm] langsamer wächst als [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty. [/mm] Beweist das jetzt die Surjektivität, da alle Elemente getroffen werden?
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Hallo,
> Und wie kriege ich x=y raus? Es steht ja auf beiden Seiten
> das gleiche. In der Aufgabe ist keine Restriktion, also
> darf man Differenzialrechnung verwenden.
Dann ist alles viel einfacher: beweise, dass f streng monoton wächst, dann hast du die Injektivität.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty} x-log(1+x^{2})=x-log(1)-logx^{2}=x-log x^{2}[/mm]
>
> Da log [mm]x^{2}[/mm] langsamer wächst als
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty.[/mm] Beweist das jetzt
> die Surjektivität, da alle Elemente getroffen werden?
Na ja, die Argumentation ist wohl richtig. Aber das ist als Beweis eiun wenig dürftig. Wenn schon Differenzialrechnung, dann könnte man bspw, so ein geschütz auffahren wie eine Potenzreihe für [mm] log(1+x^2) [/mm] oder ersatzweise auch log(x) (weshalb?).
Gruß, Diophant
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[mm] f(x)=f(x)=x-log(1+x^2)
[/mm]
[mm] f'(x)=1-\bruch{2x}{(1+x^{2}} [/mm]
Wenn man es gleich 0 setzt, ergibt das 1 und sie ist streng monoton.
Bei der Frage zu den Limites hab ich keine Ahnung weshalb.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:45 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=f(x)=x-log(1+x^2)[/mm]
> [mm]f'(x)=1-\bruch{2x}{(1+x^{2}}[/mm]
> Wenn man es gleich 0 setzt, ergibt das 1 und sie ist streng
> monoton.
Was ist ?
[mm]f'(x)=1-\bruch{2x}{(1+x^{2})}[/mm]
[mm] 1-\bruch{2x}{(1+x^{2})}=\bruch{1+x^2-2x}{(1+x^{2})}=\bruch{(1-x)^2}{(1+x^{2})} \ge [/mm] 0
FRED
> Bei der Frage zu den Limites hab ich keine Ahnung weshalb.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:14 Di 19.02.2013 | | Autor: | matthias-ta |
Oh, stimmt ja. Dann ist die Funktion nicht injektiv, sondern nur surjektiv?
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> Oh, stimmt ja.
Hallo,
könntest Du etwas genauer ausformulieren, was "stimmt", und wie Du daraus schließt, daß die Funktion nicht injektiv ist?
LG Angela
> Dann ist die Funktion nicht injektiv,
> sondern nur surjektiv?
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Die Ableitung ist [mm] \ge [/mm] 0, also nur monoton wachsend. sie müsste > 0 sein, um streng monoton wachsend zu sein und deswegen ist die Funktion nicht injektiv.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die Ableitung ist [mm]\ge[/mm] 0, also nur monoton wachsend. sie
> müsste > 0 sein, um streng monoton wachsend zu sein und
> deswegen ist die Funktion nicht injektiv.
Das ist Unsinn !
Die Ableitung von f hat nur eine Nullstelle, ansonsten ist f'>0. Damit ist f streng wachsend und somit injektiv.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Und wie kriege ich x=y raus? Es steht ja auf beiden Seiten
> das gleiche. In der Aufgabe ist keine Restriktion, also
> darf man Differenzialrechnung verwenden.
Wie man damit die Injektivität zeigt, habe ich Dir gesagt.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty} x-log(1+x^{2})=x-log(1)-logx^{2}=x-log x^{2}[/mm]
Aua, Auaaaa ! Das tut weh ! Das hab ich Dir aber auch schon gesagt.
Für Dich ist log(a+b)=log(a)+log(b). Hehmen wir mal an, das sei so. Dann wählen wir a=b=1 und erhalten:
log(2)=0 und daraus 2 = [mm] e^0=1.
[/mm]
das liefert 1=0
Bummbaaa !
>
> Da log [mm]x^{2}[/mm] langsamer wächst als
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty.[/mm] Beweist das jetzt
> die Surjektivität, da alle Elemente getroffen werden?
gar nichts hast Du gezeigt.
Es ist [mm] x=log(e^x), [/mm] also
[mm] x-log(1+x^2)=log(e^x)-log(1+x^2)= log(\bruch{e^x}{1+x^2})
[/mm]
Was treibt [mm] \bruch{e^x}{1+x^2} [/mm] für x [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es geht gegen unendlich.
..... und weiter ... ?
FRED
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Ich weiß nicht so recht. Folgt daraus jetzt die Surjektivität?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:42 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie, ob die Funktion f:IR -> IR;
> [mm]f(x)=x-log(1+x^2)[/mm] bijektiv ist.
> Bei der Injektivität hab ich keine Ahnung, wie ich das
> beweisen soll. Bis jetzt bin ich soweit:
> Eine Funktion ist injektiv, wenn für alle x,y [mm]\in[/mm] IR
> f(x)=f(y) [mm]\rightarrow[/mm] x=y.
> Seien x,y [mm]\in[/mm] IR.
> Muss ich jetzt einfach [mm]x-log(1+x^2)=y-log(1+y^2)[/mm] setzen
> und habe es dann schon?
> Zur Surjektivität:
> Eine Funktion ist surjektiv, wenn für alle y [mm]\in[/mm] IR ein x
> [mm]\in[/mm] IR existiert und daraus f(x)=y folgt.
> f(x)=x-log 1-log [mm]x^2=x-\bruch{2}{x}[/mm]
Das ist doch kompletter Unsin !
FRED
> Wenn man da nun 2 einsetzt, ergibt das 0 und ist deswegen
> ein Widerspruch.
>
> Ist wohl einiges falsch, könnte man mir bitte einen
> "Standardweg" zeigen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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