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| Aufgabe | Geben Sie je ein Polynom P von möglichst kleinem Grad in der Form
[mm] a_{n} x^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{1} [/mm] x + [mm] a_{0} [/mm] an, welches die folgenden Eigenschaften besitzt:
P hat die Nullstellen 1 und 4 und es gilt P(-x) = P(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo, hoffe ich poste hier richtig :)
Zu der Aufgabe oben...
Ich weiß zunächst was von mir verlangt ist :D
Ich bastle mir also erstmal zur übersicht:
f(1) = 0
f(4) = 0
f(-1) = 0
f(-4) = 0
die alg. Formel lautet ja für solch ein Polynom vierten Grades:
f(x) = [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^3 [/mm] + [mm] cx^2 [/mm] + dx + e
Wenn ich nun einsetze:
a + b + c + d + e = 0
256a + 64b + 16c + 4d + e = 0
a - b + c - d + e = 0
256a - 64b + 16c - 4d + e = 0
soweit so gut...
nun dachte ich mir, ich löse das ganze mit dem Gauß-Algorithmus...
Scheitere hier jedoch :)
Ist denn mein Gedankengang richtig?
Das LGS so aufzuschreiben und dann mit Gauß zu lösen?
Lg,
steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Aus $f(+x) \ = \ f(-x)$ folgt, dass es sich um eine zur y-Achse symmetrische Funktion handelt. Das heißt es trten nur gerade Potenzen auf:
$$f(x) \ = \ [mm] a*x^4+c*x^2+e$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Du bist überall ... mein Retter 
Heißt das ich liege mit meinen vier Nullstellen
-4, -1 , 1 , 4 komplett falsch ?
Also ich weiß nicht so recht was ich jetzt machen soll :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:13 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Die Nullstellen stimmen!
Gruß
Loddar
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Nun ich probiere dann mal :)
Wir haben:
f(x) = [mm] ax^4 [/mm] + [mm] cx^2 [/mm] + e
f(1) = a + c + e
f(4) = 256a + 16c + e
LGS aufgestellt:
e + c + a + = 0
e + 16c + 256a = 0
e + c + a = 0
0 + 15c + 255a = 0 => c = -17a
c eingesetzt:
c - 17a + a = 0 => e = 16a
c und e in mein f(x) oben eingesetzt:
[mm] ax^4 [/mm] - [mm] 17ax^2 [/mm] + 16a = 0
a ausklammern:
[mm] a(x^4 [/mm] - [mm] 17x^2 [/mm] + 16) = 0
=> a = 0 (?)
und nun ? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:55 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Es gibt hier keine eindeutige Lösung, sondern es verbleibt eine Funktionssschar mit:
[mm] $$f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*\left(x^4-17*x^2+16\right)$$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ist das hier die endgültige "lösung"?
Also so wie es in der Aufgabenstellunge gefordert wird?
| Aufgabe | Geben Sie je ein Polynom P von möglichst kleinem Grad in der Form
[mm] a_{n} x^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{1} [/mm] x + [mm] a_{0} [/mm] an, welches die folgenden Eigenschaften besitzt:
P hat die Nullstellen 1 und 4 und es gilt P(-x) = P(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] |
Weil wenn ich die Lösung so eingebe meldet das Programm "incorrect" :)
Lg und vielen Dank für Deine Mühe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Ist so ein selbstlern-Programm von der Uni ;)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ja! Denn wie oben in der Zeichnung zu erkennen, ist die Funktion nur durch Angabe der Nullstellen nicht eindeutig zu bestimmen.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Welches Programm?
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
