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| Aufgabe | | Geben Sie eine Funktion an, für die 2x+3 eine schräge Asymptote bei x -> [mm] \infty [/mm] ist und die bei +1 und -1 vertikale Asymptoten hat. |
Hallo,
also Asymptoten hatten wir in der Schule immer mittels Polynomdivsion berechnet.
Da die Asymptote hier eine Gerade ist , ist die Funktion ein gebrochenrationaler Bruch, der entweder im Zähler [mm] x^{3} [/mm] und im Nenner [mm] x^{2} [/mm] hat oder aber der Bruch hat als Zähler [mm] x^{2} [/mm] und im Nenner x.
Zudem könnte der Nenner so aussehen: (x-1)(x+1)
Allgemeine Sache:
Was ich noch nicht verstanden habe ; wieso x -> [mm] \infty [/mm] an welcher Stelle muss ich (wenn ich die Asymptote haben will) Grenzwertbetrachtung machen ?
Vielen lieben Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie eine Funktion an, für die 2x+3 eine schräge
> Asymptote bei x -> [mm]\infty[/mm] ist und die bei +1 und -1
> vertikale Asymptoten hat.
>
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> Hallo,
> also Asymptoten hatten wir in der Schule immer mittels
> Polynomdivsion berechnet.
> Da die Asymptote hier eine Gerade ist , ist die Funktion
> ein gebrochenrationaler Bruch, der entweder im Zähler
> [mm]x^{3}[/mm] und im Nenner [mm]x^{2}[/mm] hat
Hä ? Meinst Du jeweils die höchste Potenz von x ?
> oder aber der Bruch hat als
> Zähler [mm]x^{2}[/mm] und im Nenner x.
Hä ? S.o.
>
> Zudem könnte der Nenner so aussehen: (x-1)(x+1)
Wieso "zudem" ?
Bastle doch: $f(x)=2x+3+ [mm] \bruch{1}{x-1}+\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Fertig ist der Schuh !
FRED
>
> Allgemeine Sache:
> Was ich noch nicht verstanden habe ; wieso x -> [mm]\infty[/mm] an
> welcher Stelle muss ich (wenn ich die Asymptote haben will)
> Grenzwertbetrachtung machen ?
>
>
> Vielen lieben Dank im Voraus.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 15.06.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo und vielen Dank für die Antwort. War wohl einfacher als gedacht.
> Hä ? Meinst Du jeweils die höchste Potenz von x ?
Genau , hätte mich besser ausdrücken sollen.
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Hallo,
also da sind sprachliche Konstrukte drin, ich sach mal: bemerkenswert...
> Geben Sie eine Funktion an, für die 2x+3 eine schräge
> Asymptote bei x -> [mm]\infty[/mm] ist und die bei +1 und -1
> vertikale Asymptoten hat.
>
> also Asymptoten hatten wir in der Schule immer mittels
> Polynomdivsion berechnet.
Das kann schonmal überhaupt nicht stimmen, sondern es bezieht sich ausschließlich auf gebrochen-rationale Funktionen!
> Da die Asymptote hier eine Gerade ist ,
Eine Asymptote im klassischen Sinn ist stets eine Gerade. Der Begriff kommt aus dem altgriechischen. Die antiken Griechen befassten sich bekanntlich unter anderem mit den Kegelschnitten und entdeckten dabei, dass man zwischen die beiden Äste von Hyberbeln zwei Geraden so legen kann, dass sie sich eben wie wir heute sagen der Hyperbel asymptotisch nähern. asymptotos heißt wörtlich übersetzt wohl so viel wie die nicht Zusammenfallenden.
Es gibt moderne Auffassungen, wo jede Kurve, die sich asymptotisch an eine andere Kurve annähert, als Asymptote bezeichnet wird, aber im Rahmen solch elementarer Aufgaben wie dieser kann man getrost sagen, dass unter einer Asymptoten eine Gerade verstanden wird.
> ist die Funktion
> ein gebrochenrationaler Bruch,
Das hier fällige Hä??? hat FRED ja schon ausreichend verwendet. 
Ich persönlich besitze ein automobiles KFZ, was sagst du dazu? 
> der entweder im Zähler
> [mm]x^{3}[/mm] und im Nenner [mm]x^{2}[/mm] hat oder aber der Bruch hat als
> Zähler [mm]x^{2}[/mm] und im Nenner x.
Lieber pc-doctor: normalerweise schreibe ich sowas nicht. Aber kann es sein, dass du große Teile des Deutschunterrichts verpasst hast? So etwas kann und sollte man als Abiturient oder auch Student besser formulieren können!
>
> Zudem könnte der Nenner so aussehen: (x-1)(x+1)
>
Ja, diese Überlegung ist richtig, und zur einfachen Auffindung einer geeigneten Funktionsgleichung hat FRED ja schon alles notwendige gesagt.
> Allgemeine Sache:
> Was ich noch nicht verstanden habe ; wieso x -> [mm]\infty[/mm] an
> welcher Stelle muss ich (wenn ich die Asymptote haben will)
> Grenzwertbetrachtung machen ?
Du musst die unterschiedlichen Arten von Asymptoten unterscheiden. Senkrechte Asymptoten kommen letztendlich stets durch eine Divsion durch Null zustande (auch wenn man das manchmal nicht sieht, dann geschieht es eben in der betreffenden Potenzreihe). Insbesondere aber sind es einzelne Stellen auf der reellen Achse, wo das passiert.
Waagerechte oder schräge Asymptoten kommen anschaulich gesprochen zustande, wenn ein Funktionsterm für betragsmäßig große x-Werte anfängt, sich immer mehr wie eine lineare bzw. konstante Funktion zu verhalten, weil bestimmte Teile im Term gegen Null streben. Insofern findet man diese Asymptoten stets, wenn man das Grenzverhalten für [mm] |x|\to\infty [/mm] untersucht, was man bspw. bei gebrochen-rationalen Funktionen tatsächlich zusammen in einem Fall erledigen darf, während man bspw. bei Exponentialfunktionen beide Ränder getrennt untersuchen muss.
Insbesondere aber ist die Thematik etwas, wo man sich vom Strickmuster-Denken der Schule endgültig verabschieden und dafür über die Dinge gründlich nachdenken sollte. Ein guter Anfang dafür ist der, sich darum zu bemühen, seine Fragen adäquat zu formulieren!
Gruß, Diophant
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