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| Aufgabe | Sei $f: [mm] \IR \to \IR_+$ [/mm] messbar und integrierbar. Setze [mm] $F:=\integral_{\IR}{f(x) dx}$.
[/mm]
Dann existieren kleinste Zahlen $v(t), t [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit
[mm] [quote]$\bruch{1}{F}\integral_{-\infty}^{v(t)}{f(x) dx} [/mm] = t$.[/quote] |
Hallo,
wieso gilt das? Ich würde die Funktion v so definieren: v(t):= inf [mm] \{y \in \IR | \integral_{-\infty}^{y}{f(x) dx} = t\}.
[/mm]
Die Frage ist, warum diese Menge für jedes t aus [0,1] nicht-leer ist?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 05.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Die_Suedkurve!
> Sei [mm]f: \IR \to \IR_+[/mm] messbar und integrierbar. Setze
> [mm]F:=\integral_{\IR}{f(x) dx}[/mm].
> Dann existieren kleinste
> Zahlen [mm]v(t), t \in [0,1][/mm] mit
> [mm]\bruch{1}{F}\integral_{-\infty}^{v(t)}{f(x) dx} = t[/mm].
Gemeint ist vermutlich:
"Dann existiert für jedes [mm] $t\in[0,1]$ [/mm] eine kleinste Zahl $v(t)$ mit [mm]\bruch{1}{F}\integral_{-\infty}^{v(t)}{f(x) dx} = t[/mm]."
Für t=0 und t=1 ist dies jedoch im Allgemeinen falsch.
Betrachten wir also daher nur noch den Fall [mm] $t\in]0,1[$.
[/mm]
> wieso gilt das? Ich würde die Funktion v so definieren:
> v(t):= inf [mm]\{y \in \IR | \integral_{-\infty}^{y}{f(x) dx} = t\}.[/mm]
Abgesehen vom vergessenen Faktor [mm] $\frac{1}{F}$ [/mm] vor dem Integral: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Die Frage ist, warum diese Menge für jedes t aus [0,1]
> nicht-leer ist?
Die Funktion [mm] $I\colon\IR\to\IR,\quad I(y):=\integral_{-\infty}^{y}{f(x) dx}$ [/mm] ist stetig, wie man sich mithilfe des Satzes von der majorisierten Konvergenz klarmachen kann.
Es gilt [mm] $\lim_{y\to-\infty}I(y)=0$ [/mm] und [mm] $\lim_{y\to+\infty}I(y)=F$ [/mm] (das kann man sich ebenfalls mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz überlegen).
Mit einem Zwischenwertsatz-Argument erhält man somit ein [mm] $y\in\IR$ [/mm] mit $I(y)=t*F$.
Weiter bleibt noch zu begründen:
- Die Menge, deren Infimum du nehmen möchtest, ist nach unten beschränkt (so dass das Infimum tatsächlich als reelle Zahl existiert.)
- Das Infimum v(t) leistet das Gewünschte.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
danke für deine Hilfe.
Ich werde es mir anschauen.
Grüße
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