Funktion: Zeigen Sie, dass... < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Sa 25.10.2008 | | Autor: | antra |
| Aufgabe | Es seien A und B Mengen und M1, M2 [mm] \subseteq [/mm] A und N1, N2 [mm] \subseteq [/mm] B. Zeigen Sie, dass für jede Funktion f: A --> B gilt:
f(M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \subseteq [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2) |
Hallo, bin neu hier und wollte fragen, ob es jemand gibt der mir bei der Lösung der obigen Aufgabe helfen kann.
Ich habe nur eine Teilaufgabe angegeben, da ich den Rest gerade noch so alleine lösen kann. An der hier sitze ich jetzt aber schon ein paar Stunden und komme einfach auf keinen grünen Zweig.
Ich bedanke mich für jeden Tipp oder Hinweis.
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Es seien A und B Mengen und M1, M2 [mm]\subseteq[/mm] A und N1, N2
> [mm]\subseteq[/mm] B. Zeigen Sie, dass für jede Funktion f: A --> B
> gilt:
>
> f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) [mm]\subseteq[/mm] f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zu zeigen ist hier eine Teilmengenbeziehung, Du mßt lso zeigen, daß jedes Element der linken Menge auch in der rechten liegt,
daß also
[mm] y\in [/mm] f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) [mm] ==> [/mm] f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2)
gilt.
Beweis:
Sei [mm] y\in [/mm] f(M1 [mm]\cap[/mm] M2)
(Was bedeutet das? Es bedeutet dies:)
==>
Es gibt ein [mm] x\in [/mm] M1 [mm]\cap[/mm] M2 mit f(x)=y
==> (was bedeutet es, daß [mm] x\in M_1\cap M_2 [/mm] ist?)
...
Versuch's jatzt mal zu Ende zu bringen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 25.10.2008 | | Autor: | antra |
Erstmal danke für die Antwort :)
[mm] \exists{x}:x\in M_1\cap M_2\wedge{f(x)=y}
[/mm]
(irgendwie so?)
==> [mm] (\exists{x}:x\in M_1\wedge{f(x)=y})\wedge (\exists{x}:x\in M_2\wedge{f(x)=y})
[/mm]
==> [mm] y\in{f(M_1)}\wedge y\in{f(M_2)}
[/mm]
==> [mm] y\in{f(M_1)}\cap{f(M_2)}
[/mm]
Aber ist damit auch bewiesen, dass der linke teil eine Teilmenge vom rechten Teil ist?
bzw. ich hab da noch eine extra Aufgabe:
Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass in b) (also dieser Aufgabe) i. allg. nicht die Gleichheit gilt.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, so wie Du sagst.
> Aber ist damit auch bewiesen, dass der linke teil eine
> Teilmenge vom rechten Teil ist?
Ja. Du hast jetzt gezeigt, daß jedes Element aus der linken Menge auch in der rechten liegt, und genau das ist doch "Teilmenge".
>
> bzw. ich hab da noch eine extra Aufgabe:
> Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass in b) (also
> dieser Aufgabe) i. allg. nicht die Gleichheit gilt.
Tja, bei sowas probiere ich immer ein bißchen mit Pünktchen und Pfeilen.
Mach doch mal sowas
[mm] M_1:=\{1,2,3\}, M_2:=\{3,4,5\}
[/mm]
Dann ist [mm] M_1\cap M_2=\{3}.
[/mm]
So, jetzt nehmen wir eine Funktion f: [mm] \{1,2,3,4,5\} \to \{a,b,c}
[/mm]
[mm] 1\mapsto [/mm] ...
[mm] 2\mapsto [/mm] ...
[mm] 3\mapsto [/mm] b
[mm] 4\mapsto [/mm] ...
[mm] 5\mapsto [/mm] ...
Jetzt versuch das mal so hinzubekommen, daß [mm] f(M_1)\capf(M_2]=\{a,b\} [/mm] ist.
(Vielleicht fällt Dir auch noch was anderes ein, das soll nur eine Anregung sein, wie Du beginnen könntest.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Do 03.11.2011 | | Autor: | reg |
der Beitrag is schon älter aber ich habe eine Frage bezüglich deiner Lösung
in der ersten Zeile nach dem "(irgendwie so ?)":
wieso hast du dort ^ f(x) hingeschrieben (also nach x ist element von M1) ?
bzw wieso muss das dort stehen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> der Beitrag is schon älter aber ich habe eine Frage
> bezüglich deiner Lösung
>
> in der ersten Zeile nach dem "(irgendwie so ?)":
>
> wieso hast du dort ^ f(x) hingeschrieben (also nach x ist
> element von M1) ?
>
> bzw wieso muss das dort stehen ?
Korrekt lautet das so, wie es Angela geschrieben hat:
Es gibt ein $ [mm] x\in [/mm] $ M1 $ [mm] \cap [/mm] $ M2 mit der Eigenschaft f(x)=y
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:15 Do 03.11.2011 | | Autor: | reg |
Also wenn ich schreibe:
$ [mm] {f(M_1 \cap M_2)} [/mm] $ = ($ [mm] \exists{x}\in M_1\wedge M_2: [/mm] {f(x)=y} $)
$ [mm] {f(M_1)}\cap{f(M_2)} [/mm] $ = ($ [mm] \exists{x}\in M_1:{f(x)=y} \vee \exists{x}\in M_2:{f(x)=y} [/mm] $)
wäre das dann richtig ? genügt das als Beweis ?
da man in der ersten Zeile sagt das ein x in M1 und M2 exestiert damit f(x) = y ist und bei der zweiten Zeile: ein x exestiert in M1 oder M2 damit f(x) = y ist. Beide Aussagen sind gleich und damit hat man es Bewiesen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 05.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
