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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Sa 24.04.2010 | | Autor: | astella |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x)=\wurzel{2x-1}/\wurzel{x-2} [/mm] eine reelle Funktion einer reellen Variablen.
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich die Funktion f (x), zeigen Sie, dass sie eine Umkehrfunktion
besitzt und ermitteln Sie diese Umkehrfunktion und ihren Definitions- und
Wertebereich!
b) Untersuchen Sie die Funktion f (x) und ihre Umkehrfunktion ohne Verwendung von Mitteln
der Differenzialrechnung auf Monotonie!
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Ich habe versucht zu zeigen, dass die Funktion streng monoton wachsend ist, weil dann die auch eineindeutig ist und Umkehrfunktion besitzt:
f(z)>f(x) [mm] \gdw \wurzel{2z-1}/\wurzel{z-2}>\wurzel{2x-1}/\wurzel{x-2} \gdw \wurzel{2z-1}*\wurzel{x-2}>\wurzel{z-2}*\wurzel{2x-1} \gdw
[/mm]
2zx-4z-x+2>2zx-z-4x+z [mm] \gdw [/mm] -4z+z>-4x+x [mm] \gdw [/mm] -3z>-3x |/(-3) [mm] \gdw [/mm] z<x
Es ist dann genau umgekehrt und besitzt keine Umkehrfunktion. So kann das doch nicht sein. Was ist dann dort falsch?
Umkehrfunktion habe ich so gerechnet: [mm] y=\wurzel{2x-1}/\wurzel{x-2}
[/mm]
[mm] y(\wurzel{x-2})=\wurzel{2x-1}
[/mm]
[mm] y^{2}x-2y=2x-1
[/mm]
[mm] x=-1-2y/y^{2}-2
[/mm]
[mm] D(f(x))=\{x\parallel x |\ge2\}und [/mm] W(f(x)) Ist es richtig?
Und was ich bei Punkt b schreiben muss, habe ich keine Ahnung. Wie kann man die Funktion noch untersuchen?
Ich wäre für Hilfe sehr dankbahr!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Sa 24.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Funktion muss ja nicht unbedingt streng monoton wachsend sein, sie kann ja auch streng monoton fallend sein.
Der Definitionsbereich ergibt sich aus dee Forderung [mm] \bruch{2x-1}{x-2}\ge0. [/mm] Da kannst Du unterscheiden nach x>2 und x<2, dann kommst Du auf einen anderen Definitionsbereich als Du angegeben hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Sa 24.04.2010 | | Autor: | astella |
Ich habe doch von der Aufgabenstellung verstanden, dass ich für die Umkehrfunktion Definitionsbereich und Wertebereich schreiben muss...
Und was bei Punkt b zu schreiben ist, weiß ich noch immer nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Sa 24.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Teil a)
Definitionsbereich
Wie ich gesagt habe, muss [mm] \bruch{2x-1}{x-2}>0 [/mm] gelten. Also entweder
i) 2x-1>0 und x-2>0 oder
ii) 2x-1<0 und x-2<0
Aus i) folgt [mm] x>\bruch{1}{2} [/mm] und x>2 also x>2
und aus ii) folgt [mm] x<\bruch{1}{2} [/mm] und x<2 also [mm] x<\bruch{1}{2}
[/mm]
Insgesamt ist der Definitionsbereich also [mm] \{x \in\IR| x > 2 \wedge x < \bruch{1}{2} \}
[/mm]
Damit die Umkehrfunktion existiert musst Du nachweisen, dass die Funktion streng monoton fallend ist. Der Beweis geht wie von Dir angefangen nur mit umgedrehten Ungleichungszeichen.
Bei der Umkehrfunktion ist Dir ein Fehler unterlaufen, sie lautet
[mm] g(x)=\bruch{2x^2-1}{x^2-1}. [/mm] Das kann man durch nachrechnen von f(g(x))=x bestätigen
Teil b)
Ist schon durch den Nachweis wie Du ihn geführt hast, allerdings wie gesagt mit umgekehrten Ungleichungszeichen, erledigt. Normalerweise weisst man strenge Monotonie durch die erste Ableitung nach. Streng monoton steigend durch f'(x)>0 und streng monoton fallend durch f'(x)<0 nach.
Ich hoffe das hilft.
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