Funktion I keine Integralfunkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 So 19.09.2004 | | Autor: | Scatman |
Hi,
haben folgendes Problem:
Zeige, dass die Funktion I mit I(x)=x²-2x+2 keine integralfunktion ist.
also f(x) ist die Normalfunktion. und demnach f(x)= 2x-2 (da 1. Ableitung von der Stammfunktion).
Stammfunktion ist x²-2x+2.
Also gilt:
Normalfunktion: f(x)= 2x-2
=> Integralfunktion: Integral von(2x-2)dx -> I(x)=x²-2x+2
Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=238884#post238884
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 19.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Scatman!
> haben folgendes Problem:
> Zeige, dass die Funktion I mit I(x)=x²-2x+2 keine
> integralfunktion ist.
Meiner Meinung nach fehlt hier eine Angabe, nämlich die untere Grenze, zu der die Integralfunktion gebildet wurde.
Eine Integralfunktion ist ja definiert als
[mm] $I_a(x):=\integral_{a}^{x} f(t)\; [/mm] dt$
Wenn man in deinem Beispiel a=-2 wählt, dann ist
[mm] $I_{-2}(x)=x^2-2x+2$
[/mm]
eine Integralfunktion zu dem Integranden
f(x)=2x-2
Für eine Integralfunktion gilt immer: [mm] $I_a(a)=0$ [/mm] und $I'_a(x)=f(x)$.
Nun kann es aber sein, dass Ihr unter einer Integralfunktion immer die zur unteren Grenze 0 gebildete Integralfunktion versteht (das schaue bitte nochmal in deinen Unterlagen nach und bestätige uns das kurz), also [mm] $I(x)=I_0(x)=\integral_{0}^{x} f(t)\; [/mm] dt$.
In diesem Fall ist deine obige Funktion keine Integralfunktion, denn [mm] $I(0)=I_0(0)=2\not=0$.
[/mm]
Korrektur: Siehe Philipp-ERs Antwort. Dass [mm] $I_{-2}$ [/mm] ein Integralfunktion ist, war natürlich Unsinn, und dass man zeigen kann, dass [mm] I_a [/mm] für keine Wahl von a eine Integralfunktion ist, ist das schlagende Argument hier. Danke Philipp-ER für Hinweis und Korrektur.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren
> gestellt:
>
> http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=238884#post238884
Danke für den Hinweis!
Viele Grüße,
Marc
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Hi.
Wäre I eine Integralfunktion, so gäbe es ein a aus R mit
[mm] $I(x)=\int_a^x [/mm] (2t-2)dt$ (so sind ja die Integralfunktionen gerade definiert.
Berechne jetzt einfach [mm] $\int_a^x [/mm] (2t-2)dt$ und zeige, dass durch keine Wahl von a der Term I(x) herauskommen kann, dass also die Gleichung
[mm] $I(x)=\int_a^x [/mm] (2t-2)dt$ keine Lösung für a besitzt.
Schaffst du es mit dieser Anleitung?
@marc: [mm] $\int_{-2}^x [/mm] (2t-2)dt$ ist NICHT der angegebene Term I(x), wie du selbst leicht nachrechnen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 So 19.09.2004 | | Autor: | Scatman |
erst mal danke für die antworten.
bin ein stück weiter.
allerdings verstehe ich nicht so ganz, warum es für alle a bei der gegebenen Funktion keine Lösung gibt bzw. wie man darauf kommt, dass es keine Lösung gibt...
[mm]\integral_{a}^{x} (2t-2)\, dx[/mm] =[2t²-2x+2] von a bis x
so,wenn ich jetzt weiter machen komme ich doch auf ein "gewöhnliches" ergebnis...
irgendwas ist da noch falsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 So 19.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Scatman,
> erst mal danke für die antworten.
> bin ein stück weiter.
> allerdings verstehe ich nicht so ganz, warum es für alle a
> bei der gegebenen Funktion keine Lösung gibt bzw. wie man
> darauf kommt, dass es keine Lösung gibt...
> [mm]\integral_{a}^{x} (2t-2)\, dx[/mm] =[2t²-2x+2] von a bis x
Mmh, wie kommst du denn hier auf die Stammfunktion bzw. auf die "+2"? Ausserdem hast du zweimal t und x verwechselt.
> so,wenn ich jetzt weiter machen komme ich doch auf ein
> "gewöhnliches" ergebnis...
> irgendwas ist da noch falsch
Ja, aber so falsch auch nicht mehr:
[mm] $\integral_{a}^{x} (2t-2)\, [/mm] dt$
[mm] $=[2t²-2t+C]_a^x$
[/mm]
[mm] $=[2x²-2x+C]-[2a^2-2a+C]$
[/mm]
[mm] $=2x²-2x-2a^2+2a$
[/mm]
Nun müßte wegen [mm] $2x^2-2x+2=I_a(x)=\integral_{a}^{x} (2t-2)\, [/mm] dt$ aber auch gelten:
[mm] $2x^2-2x+2=2x²-2x-2a^2+2a$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 2=-2a^2+2a$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 1=-a^2+a$
[/mm]
[mm] $\gdw\ a^2-a+1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ a_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-1}$
[/mm]
Also gibt es kein a, so dass [mm] I_a [/mm] eine Integralfunktion ist.
Viele Grüße,
Marc
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