Funktion Abstand zum Ursprung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mi 10.11.2004 | | Autor: | walter36 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich bitte dringend um Hilfe, da ich keine Ahnung habe wie man diese Aufgabe lösen kann:
f(x)=x+(2/x²) ; x > 0
a) Welcher Punkt des Graphen von f hat vom Ursprung minimalen Abstand?
b) Die Koordinatenachsen und ihre Parallelen durch den Punkt (der Punkt aus a) schließen ein Rechteck ein. Wann ist der Flächeninhalt dieses Rechtecks minimal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo! Ich bitte dringend um Hilfe, da ich keine Ahnung
> habe wie man diese Aufgabe lösen kann:
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> f(x)=x+(2/x²) ; x > 0
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> a) Welcher Punkt des Graphen von f hat vom Ursprung
> minimalen Abstand?
> b) Die Koordinatenachsen und ihre Parallelen durch den
> Punkt (der Punkt aus a) schließen ein Rechteck ein. Wann
> ist der Flächeninhalt dieses Rechtecks minimal?
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Hallo Walter,
hier geht es ja um eine Extremwertaufgabe. Wie bei jeder Extremwertaufgabe suchen wir zunächst nach der Zielfunktion.
a) hier soll also der Abstand vom Ursprung minimal sein. Also überlegen wir, wie wir auf den Abstand kommen bzw was wir über den Abstand zum Ursprung wissen.
Wir wissen, dass der Betrag der x-Koordinate den horizontalen Abstand des Punktes zum Ursprung angibt und der Betrag der y-Koordinate den vertikalen Abstand zum Ursprung.
Wenn du jetzt einen beliebigen Punkt nimmst, vom Ursprung horizontal bis zu der x-Koordinate des Punktes wanderst, dort einen Punkt machst, von da aus y Schritte nach oben machst, dann solltest du bei dem Punkt angekommen sein. Wenn du nun die in diesem Vorgang gezeichneten Strecken ansiehst, wirst du sehen, dass sie senkrecht aufeinander stehen. Betrachtes du jetzt den Abstand von deinem Punkt zum Ursprung, so wäre diese Strecke die Hypothenuse des Dreiecks. Die Katheten des Dreiecks sind x und y, also besteht zwischen dem Abstand $ a $ zum Ursprung und zu den Koordinaten folgender Zusammenhang: $ [mm] a^2=x^2+y^2 [/mm] $ . Nun kannst du noch die Wurzel ziehen und da steht:
$ [mm] a=Wurzel{x^2+y^2} [/mm] $
Somit wäre unsere Zielfunktion $ [mm] a=Wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ in die noch unsere Nebenbedingung $ [mm] f(x)=y=x+(2/x^2) [/mm] $ eingefügt werden muss.
Die Nebenbedingung impliziert ja, dass jeder Punkt ein Punkt unserer Funktion sein muss.
Gut jetzt packst du die Nebenbedingung in die Zielfunktion und überprüfst diese auf absolute Minima.
b) Der Punkt aus a) sein A und habe die Koordinaten (x/f(x)) . Die Seiten des Rechtecks sind die Koordinaten des Punktes, also ist der Flächeninhalt des Rechtecks $ A=x*f(x) $ und dies soll minimal sein. Außerdem wissen wir wieder, dass der Eckpunkt des Rechtecks ein Punkt der Funktion ist, also ist unsere Nebenbedingung wieder: $ [mm] f(x)=x+(2/x^2) [/mm] $ .
Diese baust du wieder in die Zielfunktion ein und überprüfst die Funktion dann auf absolute Maxima.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte, sollte noch etwas unklar bleiben, so frage bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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