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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Di 10.10.2006 | | Autor: | ZehEs |
| Aufgabe | | Bestimme bei der Funktion [mm] f(x)=2x^3-kx^2+8x [/mm] wobei k element R ist, so dass der Graph genau 2 Nulstellen besitz. |
so also hallo erstmal !!
hate heut eine klausur wo diese aufgabe drankam...
ich dachte mir ah ok muss ich nach k umstellen hab ich gemacht kam das raus:
[mm] k=-(\bruch{2x^2+8-y}{x} [/mm] )
is das richtig???
egal und dann wusst ich net weiter...
dachte man könnt ja einsetzen y=0 aber was setzt ich für x ein?
muss ich raten? wär gut wenn jemand helfen kann
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Di 10.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leider nicht.
f(x)=2x³-kx²+8x=x(2x²-kx+8)
Jetzt hast du eine Nullstelle mit x=0 schon gegeben.
Die möglichen weiteren ermittelst du mit der p-q-Formel.
aus [mm] x²-\bruch{k}{2}x+4
[/mm]
[mm] x_{0_{2;3}}=\bruch{k}{4}\pm\wurzel{\bruch{k²}{16}-\red{4}}
[/mm]
Damit hiereau nureine Nullstelle entsteht,muss der Wurzelterm =0 werden.
Also
[mm] \bruch{k²}{16}-\red{4}=0
[/mm]
Daraus kannst du jetzt die beiden gesuchten k ermitteln.
Marius
Ein Moderator war so frei, zweimal aus 8 'ne 4 (rot) zu machen... 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Di 10.10.2006 | | Autor: | ZehEs |
hm ok is schon mal ein weiterer schritt aber ich darf nur ein k haben und mit diesem k muss ich genau 2 nullstellen bekommen und vll kannst mir erklären was du da genau gemacht hast blicke da nicht ganz durch ka warum aber mein kopf is grad so: ---- leer^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 10.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo ZehEs,
Wie M.Rex schon schrieb, existiert eine Nullstelle ($x=0$) ja schon unabhängig von k.
Jetzt muss k also so gewählt werden, dass es nur noch eine weitere Nullstelle gibt.
Wenn der Ausdruck unter der Wurzel, der "Radikand" bzw. hier auch "Diskriminante" genannt, (es muss da übrigens statt der 8 eine 4 stehen - bereits korrigiert) größer Null ist, dann hätten wir ja zwei weitere Nullstellen, also insgesamt drei. Wäre er kleiner als Null, so hätte die pq-Formel gar keine Lösung, also bliebe es bei der einen Nullstelle.
Wenn der Radikand aber gleich null ist, ergibt die pq-Formel nur noch eine Lösung für x, welches dann die zweite Nullstelle ist.
Also musst Du k so wählen, dass der Radikand null wird.
Das sind dann zwei mögliche k. Aber vielleicht stand in der originalen Aufgabe, dass k größer null sein soll? Dann fällt die zweite Lösung für k weg...
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 10.10.2006 | | Autor: | ZehEs |
huä?^^
Ok also nein, da stand nicht ,dass k größer null ist, nur das k element R ist.
Aber woher weiß ich das x=0 ist?
Außerdem versteh ich gar net wie ihr da überhaupt rechnet.
und wenn jetzt das [mm] \bruch{k}{4} [/mm] null sein soll hab ich dann nicht 2 x weil einmal + [mm] \wurzel{\bruch{k²}{16}-\red{4}} [/mm] und einmal - [mm] \wurzel{\bruch{k²}{16}-\red{4}} [/mm] ?
wobei mir grad einfällt das es ja ein polynom des 3. nicht 4.Grades ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 10.10.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
richtig erkannt das Polynome ist vom Grad drei kann somit nur maximal drei Nullstellen haben. Setze x=0 in f(x) ein und es ist eine Nullstelle. Durch ausklammern erhalten.
Der bisherige Weg war gekennzeichnet dadurch, dass ein Produkt Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Dann muß, wie die beiden autoren richtig schrieben, für die Wurzel der Wert = 0 sein, damit eine doppellte Nullstelle herauskommt. x=0 ist nur einfache Nullstelle.
Mein Vorschlag:
Eine Funktion besitzt genau dann in x eine doppellte Nullstelle, wenn diese auch Nullstelle der ersten Ableitung ist! (Berührpunkt an der x-Achse mit Steigung Null!)
Somit bestimme f'(x)=0 und teste bei f
f'(x) = [mm] 6x^2 [/mm] -2kx+8
f'(x)= [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] kx + [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
f'(x) = 0
mittels p-q-Formel berechne die Nullstelle wieder mit Wurzel muß Null werden. Da erscheint mir aber der Weg über Ausklammern wesentlich leichter, da derzweite Term einfacher zum berechnen ist! Ist ja ab da derselbe Weg.
Also ein Tipp für die Zukunft
Ron
Anmerkung: Wenn die Aufgabenstellung i.O. bekommt man immer zwei Werte für k wegen des Quadrates!
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