Funktion 3ten Grades und Grade < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Di 17.01.2006 | | Autor: | bjochen |
| Aufgabe | Mittelsekanten
Gegeben sei eine ganz-rationale Funktion dritten Grades f sowie eine Gerade g, die den
Graphen von f in drei Punkten mit den Abszissen x1, x2, x3 schneidet.
(a) Die Wendestelle xw lässt sich in einfacher Weise aus x1, x2 und x3 berechnen. Wie lautet
die Formel?
(b) Wenn die Abszissen x1 und x2 sich einer Stelle x0 nähern, wird die Gerade g zur Tangente
durch (x3,0). Wie lautet die Beziehung zwischen x0, x3, und xw jetzt?
(c) Ist die Gerade g die x-Achse, so sind x1, x2 und x3 die Nullstellen von f, und der Berührpunkt der Tangente durch (x3,0) hat besonders bemerkenswerte Koordinaten.
Untersuchen sie zunächst ein konkretes Beispiel, etwa f(x) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] -144x + 850, die Gerade g verbinde die Punkte (-15,?), 15,?) auf dem Graphen von f. Stellen Sie dann für die Teile (a), (b) und (c) allgemeine Behauptungen auf und versuchen Sie, diese zu beweisen. |
Also...a krieg ich grade noch so hin. (arithmetisches Mittel?)
Die beziehung zwischen x0, x3 und xw hab ich auch.
((2x0+x3)/3?)
Nur irritiert mich dass die Ordinate von x3 0 sein soll. Das kann doch nicht stimmen denn dann müssten doch alle Tangenten die noch einen weiteren Schnittpunkt besitzen den Graphen auf der X-Achse schneiden.
(c) versteh ich schon von der Aufgabenstellung irgendwie nicht.
Wenn ich irgendwas, sowohl mathematisches als auch forentechnisches falsch gemacht habe sagt bescheid...bin neu hier. ^^
Danke erstmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 17.01.2006 | | Autor: | informix |
Hallo Jochen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich habe die Aufgabe ins Analysis-Forum verschoben, wo sie vielleicht von mehr Leuten gelesen wird.
Um uns ein schnelles Mitdenken zu erleichtern, wäre es schön, wenn du uns deine Lösungen hier kurz aufschreibst.
Du hast recht, den Punkt [mm] (x_3;0) [/mm] verstehe ich auch nicht so recht. Die in (c) gegebene Gerade schneidet den Graphen ja auch nicht in einer Nullstelle.
Diese Aufgabe ist sehr reizvoll; stammt sie vielleicht aus einem Wettbewerb? Dann solltest du sie als solche kennzeichnen!
Lies mal unsere Forenregeln wegen Lösungsansätzen und Wettbewerbsaufgaben!
Gruß informix
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b) und c) sind einfache Folgerungen aus
a) [mm]x_W = \frac{1}{3} \left( x_1 + x_2 + x_3 \right)[/mm]
Für b) muß man nur [mm]x_1 = x_2 = x_0[/mm] spezialisieren, um den Zusammenhang mit [mm]x_0[/mm] zu bekommen.
Und für c) ist die Beziehung aus b) nach [mm]x_0[/mm] aufzulösen und [mm]x_W[/mm] gemäß a) zu ersetzen.
Oder übersehe ich da etwas?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Di 17.01.2006 | | Autor: | bjochen |
Hallo...^^
@informix
Meine Lösungen teile ich gerne mit euch...und nein es ist keine Wettbewerbsaufgabe. Bin darüber bei der suche eines Facharbeitsthemas gestoplert und fand es interessant.
Also die Funktion lautet ja:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
Dies ausmulitpliziert und 2mal abgeleitet ergibt:
f''(x)= 6ax - 2a(x1+x2+x3)
Dies gleich 0 setzen.
6a(xw) - 2a(x1+x2+x3) = 0
xw = (x1+x2+x3)/3
zu b)
Wenn sich x1 und x2 x0 annähern ist doch x0 das arithmetische Mittel von x1 und x2 oder?
Dann wäre doch der neue Zusammenhang:
(2x0+x3)/3=xw
Ist es das was du meinst Leopold?
Was meinst du denn mit spezialisieren?
Und nochwas...Wenn ich das tue was du gesagt hast bei Aufgabe c) bekomm ich da nur eine wahre Aussage raus ( 0=0 ).
Danke jedenfalls für die Antworten. 
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Der Beweis von a) ist nicht vollständig. Du zeigst nur: Wenn [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] Nullstellen sind, dann gilt [mm]x_W = \ldots[/mm].
Wenn [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] denselben Wert [mm]x_0[/mm] annehmen, dann kannst du doch in der Formel aus a) einfach [mm]x_0[/mm] für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] einsetzen und bekommst so deine Formel aus b). Das meine ich mit spezialisieren.
Die Formel in b) sagt dir, wenn du sie nach [mm]x_0[/mm] auflöst, doch, wie du aus den Abszissen [mm]x_W[/mm] und [mm]x_3[/mm] die Abszisse [mm]x_0[/mm] des Berührpunktes der Tangenten findest, die durch [mm]x_3[/mm] geht und bei [mm]x_0[/mm] berührt. Die Berührung findet also nicht bei [mm]x_3[/mm], sondern bei [mm]x_0[/mm] statt. Vielleicht liegt ja da das Mißverständnis begründet. Und wenn du in dieser Formel wieder [mm]x_W[/mm] ersetzt, natürlich mit der Formel aus a), ergibt sich nicht 0=0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 17.01.2006 | | Autor: | bjochen |
Eins versteh ich nur nicht. Warum ist die Herleitung bei a) nicht vollständig?
Bei b) hab ich es dann glaub ich doch verstanden.
Ahh...c) hab ich jetzt verstanden. Nur fand ich die Aufgabenstellung etwas verwirrend.
Also für:
(2x0 + x3)/3 = xw
Müsste doch
x0 = (3xw-x3)/2 rauskommen.
Und DAS ist "eine besonders bemerkenswerte Koordinate"???
Naja...hab es jedenfalls verstanden.
Zu dem mit der wahren Aussage.
Ich hab deinen Post vorhin missverstanden und habe (2x0 + x3)/3 mit (x1+x2+x3)/3 gleichgesetzt. Das ergibt eine wahre Aussage bzw führt zu keinem anständigem Ergebnis. Denn es wurde doch schon vorrausgesetzt dass x0 = (x1+x2)/2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Di 17.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jochen,
warum ist a) nicht vollständig?
Mit f(x)=a(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) hast du eine Funktion 3.Grades mit den 3 Nullstellen x1,x2,x3. Nicht alle fkt 3. Grades haben aber 3 Nullstellen : Bsp [mm] f=(x^{2}+1)*(x-x1) [/mm] hat nur eine Nullstelle.
Du kannst das ganze noch retten:
Zieht man von einer Fkt 3. Grades eine beliebige Gerade y=mx+b ab, so ändert sich die x Koordinate der Wendepunkte nicht (in der 2. Ableitung ist die Grade wieder weg). Zieht man von der beliebigen fkt die Gerade ab, die sie in den pkt. x1,x2,x3 schneidet, erhält man eine neue fkt. 3. Grd mit den Nullstellen x1,x2,x3.
Die Tangenten allerdings werden um m steiler, die Maxima bleiben nicht erhalten. Wenn du das aber berücksichtigst kannst du alles wie in c) rechnen.
Gruss leduart
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So kann man alle Klippen sicher umschiffen: Da die Graphen der Funktion [mm]f[/mm] vom Grade 3 und der linearen Funktion [mm]g[/mm] genau drei Schnittpunkte mit den Abszissen [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] haben, hat [mm]f(x) - g(x)[/mm] genau drei Nullstellen, so daß eine Faktorisierung
(*) [mm]f(x) - g(x) = a (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3)[/mm]
mit konstantem [mm]a \neq 0[/mm] besteht. Und hier bringt man jetzt die rechte Seite durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf Polynomgestalt und vergleicht die Koeffizienten der quadratischen Glieder links und rechts. Oder man differenziert (*) zweimal (Produktregel; [mm]g''(x)[/mm] konstant gleich 0):
[mm]f'(x) - g'(x) = a \left( (x - x_2)(x - x_3) + (x - x_1)(x - x_3) + (x - x_1)(x - x_2) \right)[/mm]
[mm]f''(x) = a \left( (x - x_2) + (x - x_3) + (x - x_1) + (x - x_3) + (x - x_1) + (x - x_2)\right) = a \left( 6x - 2 (x_1 + x_2 + x_3) \right)[/mm]
Und durch Lösen der Gleichung [mm]f''(x) = 0[/mm] hat man sofort die Wendestelle in Abhängigkeit von [mm]x_1,x_2,x_3[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Mi 18.01.2006 | | Autor: | bjochen |
Ok danke euch beiden.
Habs verstanden.
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