Funktion 2. Grades bestimmen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der Kraftstoffverbrauch der meisten Autos lässt sich durch eine Funktion 2. Grades gut annähern. Stelle für die dargestellten 5 PWK-Typen aus den Verbrauchsangaben für [mm] 70\bruch{km}{h}, 90\bruch{km}{h} [/mm] und [mm] 120\bruch{km}{h} [/mm] jeweils die Verbrauchsfunktion auf. Vergleiche den tatsächlichen Verbrauch bei [mm] 50\bruch{km}{h} [/mm] und [mm] 140\bruch{km}{h} [/mm] mit den Funktionswerten als Näherungswerten. |
Hallo,
also, eigentlich gar nicht so schwer. Die Gleichung soll die Form [mm] f(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] haben. Ich habe nun drei Unbekannte und drei Gleichungen, die ich im Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus gelöst habe:
x sei die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde, y der Kraftstoffverbrauch in Liter.
I. 4900a+70b+c=5,4
II. 8100a+90b+c=6,1
III. 14400a+120b+c=8,0
Nun habe ich aber sehr krumme Werte herausbekommen:
[mm] a\approx0,000557
[/mm]
[mm] b\approx-0,055
[/mm]
[mm] c\approx6,52
[/mm]
Die gesuchte Gleichung wäre [mm] f(x)=0,000557x^{2}-0,055x+6,52
[/mm]
Meine errechneten Näherungswerte für [mm] 50\bruch{km}{h} [/mm] sind 5,16l (Tabellenwert: 4,6l) und für [mm] 140\bruch{km}{h} [/mm] 9,7l (Tabellenwert: 12,0l)
Ist meine Vorgehensweise richtig? Oder geht es einfacher (und schneller)?
Sind meine Lösungen richtig? Kann es sein, dass so krumme Werte verlangt werden und die Abweichung vom Tabellenwert so groß ist? Mir erscheint das komisch!
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Hi,
leider hast du ja nicht den Kraftstoffverbrauch mit dazugeschrieben. Ansonsten ist der Weg richtig.
Gleichungsystem ist für soetwas immer gut ;)
Ob nun, die Gleichung stimmt, kann man mun eben nicht sagen, weil uns die anderen Werte fehlen.
Das aber krumme Werte rauskommen wundert mich nicht, denn ersten ist es eine Aufgabe aus dem real life, da kann soetwas vorkommen und außerdem soll man auch in der anderen teilaufgabe die Näherung bestimmen. Also ist es durchaus möglich, dass solche Koeffizienten als richtig genommen werden.
Klar, durch den Gauß-Algorithmus bekommt man generell auch Brüche heraus. Damit kannst du natürlich auch arbeiten.
Schönen Abend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:02 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke dir! :)
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überprüfe dein Gleichungssystem nochmal. Bin auf andere Lösung gekommen. Werd's aber auch nochmal rechnen ;)
LG Scherzkrapferl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Sicherlich ist das bei ihm rundungsbedingt passiert.
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richtig. kam zb bei 50km/h auf 5,515333... also rund 5.513 l
bei 140km/h auf 9,8333... rund 9,83 l
habs allerdings mit der hand gerechnet, fehler könnte auch meinerseits sein.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ok, ich geb euch mal die Tabellenwerte (in der Klammer steht der Kraftstoffverbrauch in Litern zur zugehörigen Geschwindigkeit):
50(4,6); 70(5,4); 90(6,1); 120(8,0); 140(12,0)
Ich habe erstmal für das erste PKW Modell gerechnet, fünf sind ja gegeben, aber das ist unwichtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:14 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Exakte Werte sind übrigens:
[mm] a=\frac{17}{30000}
[/mm]
[mm] b=-\frac{167}{3000}
[/mm]
[mm] c=\frac{163}{25}
[/mm]
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Einen PKW habe ich noch durchgerechnet. Die anderen lasse ich, das Prinzip ist ja klar.
Wollte nur meine Ergebnisse abgleichen 
Geschwindigkeit in km pro h(Verbrauch in Liter):
50(5,3); 70(6,0); 90(6,9); 120(8,9); 140(11,2)
Meine Werte:
[mm]c=1,8[/mm]
[mm] b\approx0,09986
[/mm]
[mm] a\approx-0,000569362
[/mm]
[mm] f(x)=-0,000569362x^{2}+0,09986x+1,8
[/mm]
Testprobe (Näherungswert): [mm] f(50)\approx5,37l
[/mm]
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Das sieht nicht gut aus. Jetzt hast du ja auch 5 Messwerte. Ich glaube nicht, dass da eine perfekte Parabel entstehen wird. (Nur eine Annhäherung).
Allerdings: setzt man für x=140 ein, dann erhält man einen verbrauch von rund 4,6 nach deiner Gleichung. Ich glaube nicht, dass das im Sinne des erfinders ist.
Stimmen wirklich alle Messwerte? Und soll man auch wirklich alle 5 benutzen?
Ich habe es mal mit Origin gefittet. Da erhält man das hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
hab nochmal durchgerechnet. Durch die ganzen Brüche muss ich mich wohl verrechnet haben.
Frage vorweg: Die Brüche sind teils ja sehr groß. Sollte man trotzdem unbedingt immer mit Brüchen rechnen oder kann man auch gerundete TR-Werte (8 Nachkommastellen im Speicher) benutzen? Ich finde es geht damit schneller, weil ich nicht die ganze Zeit Brüche umstellen muss.
So, ich habe meine Rechnung mal eingescannt, damit ihr mal seht wie ich das mache. Ist das so ok? Verbesserungsvorschläge?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
zunächst mal: es wäre wirklich viel besser, Rechnungen hier einzutippen. Das Hochladen von eingescannten Manuskripten erschwert es ungemein, eine vernünftige Antwort zu verfassen, und man kann insbesondere auch nicht daraus zitieren.
> Frage vorweg: Die Brüche sind teils ja sehr groß. Sollte
> man trotzdem unbedingt immer mit Brüchen rechnen oder kann
> man auch gerundete TR-Werte (8 Nachkommastellen im
> Speicher) benutzen? Ich finde es geht damit schneller, weil
> ich nicht die ganze Zeit Brüche umstellen muss.
Bei dieser Art von Aufgaben, wo nachher bei den Funktionswerten vermutlich eine exakte Nachkommastelle ausreicht, kann man auch mit auf zwei Nachkommastellen gerundeten Werten rechnen. Das ist ja eine Anwendungsaufgabe und keine reine Matheaufgabe (dort wäre es etwas anderes: in der Mathematik sollte man exakt rechnen, wo es geht).
> So, ich habe meine Rechnung mal eingescannt, damit ihr mal
> seht wie ich das mache. Ist das so ok?
> Verbesserungsvorschläge?
>
> <IMG class=preview alt=attach:902170:1 src="editor/extrafiles/images/imageplaceholder.jpg" _cke_realelement="true">
>
>
Rechnung und Resultate sind richtig, insbesondere auch der negative Wert für a. Er zeigt die Schwäche des gewählten Modells, denn das würde ja ganz klar bedeuten, dass es eine Geschwindigkeit gibt, oberhalb welcher der Verbrauch bei weiterer Erhöhung der Geschwindigkeit sinken würde. Schöne Vorstellung.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ok, vielen Dank.
Letzteres kann man auch in funkyplot sehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hi
Also wurden doch nicht die oben von dir angegebenen Werte benutzt, sondern nur drei Stück?
Was ist denn da schiefgelaufen? :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Aufgabe lesen
Nur die Geschwindigkeitswerte 70, 90 und 120 sollen zur Funktionsbestimmung herangezogen werden. Die Werte für 50 und 140 [mm] \bruch{km}{h} [/mm] sollen nur zum Vergleich dienen, damit man sieht, wie ungenau die ganze Geschichte ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
"Geschwindigkeit in km pro h(Verbrauch in Liter):
50(5,3); 70(6,0); 90(6,9); 120(8,9); 140(11,2) "
Ich dachte, das ist 'ne vollkommen neue Messreihe und die zu vergleichenden Werte sind in einer Tabelle zu finden.
Aber so macht es Sinn.
Ok - Missverständnis.
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