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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:27 Fr 03.06.2011 | | Autor: | KingStone007 |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem. Es geht um die Lösung einer Funktionalgleichung. Es steht da, es sind alle Funktionen gesucht
f: [mm] \IR\mapsto\IR. [/mm] Heißt diese Schreibweise, dass f wirklich in jedem Fall für alle reellen Zahlen geklärt sein muss?
Kann man x=0 nämlich ausschließen, so ergibt sich eine nicht triviale Lösung. Muss x=0 definiert sein, folgt für mich nur die Nullfunktion.
Lg, David
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So informativ:
Es geht um die Funktionalgleichung:
f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x+y\not=0 [/mm] steht da. Also muss die Funktion ja auch für x=0 geklärt sein oder?
Lg, David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Fr 03.06.2011 | | Autor: | abakus |
> So informativ:
> Es geht um die Funktionalgleichung:
>
> f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]x+y\not=0[/mm]
> steht da. Also muss die Funktion ja auch für x=0 geklärt
> sein oder?
Das sehe ich auch so.
Aus x=0 ergibt sich f(0)*(y-1)=f(y)
Wenn man nun y=1 setzt, erhältst du f(1)=0.
Gruß Abakus
>
> Lg, David
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.. Naja, ich habe dann einfach f(0)=0 gesetzt. Daraus folgt offenbar die Nullfunktion.
Ist f(0)=|0, dann habe ich einfach f(x)=(x-1)f(0) eingesetzt in die Ausgangsgleichung. Das ergebende ist aber nicht für alle x, y wahr. Also ein Widerspruch.
Geht das auch so?
Lg, David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Fr 03.06.2011 | | Autor: | abakus |
> .. Naja, ich habe dann einfach f(0)=0 gesetzt. Daraus folgt
Das kannst du aber nicht so einfach (oder höchstens als möglicher Fall 1 einer Fallunterscheidung).
Aber spinnnen wir f(1)=0 doch mal weiter:
Aus f(xy)=(f(x)+f(y))/(x+y) und f(1)=0 folgt
f(1*y)=(0+f(y))/(1+y),
also
f(y)=f(y)/(1+y)
Das ist nur allgemeingültig, wenn f(y) konstant Null ist.
> offenbar die Nullfunktion.
>
> Ist f(0)=|0, dann habe ich einfach f(x)=(x-1)f(0)
> eingesetzt in die Ausgangsgleichung. Das ergebende ist aber
> nicht für alle x, y wahr. Also ein Widerspruch.
> Geht das auch so?
>
> Lg, David
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Ja, aber man müsste noch f(-1)=0 schlussfolgern, denn setzt man x=1 in die Ausgangsgleichung, dann darf man y nicht -1 setzen. ;)
Aber ja, ich habe es jetzt. Mein Problem war nur, dass ich nicht genau wusste, ob ich x=0 aus dem Definitionsbereich rausnehmen dürfte. Dürfte ich das, würde sich nämlich noch f(x)=c/x mit irgendeiner Konstanten c ergeben.
Aber das geht ja offenbar nicht. ;D Danke!
LG
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