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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Di 11.12.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Der Graph G(f) einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades berührt die x-Achse bei x=-3. Die Steigung der Tangente im Punkt P(0|-9) beträgt 3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f. |
Hallo Zusammen,
die Funktion lautet so: f(x) = ax³+bx²+cx+d
somit sind die Variablen a, b, c und d gesucht. Bei x=-3 ist eine Nullstelle und bei P(0|-9) ist m=3
also die Ableitung bilden (Tangentensteigungsfunktion):
f'(x)=3ax²+2bx+c
nun setze ich P ein:
-9=3x0²+2b0+c
-9=c
nun muss ich noch a, b und d herausfinden. Vorausgesetzt es stimmt soweit überhaupt? Wie geht es nun weiter? Jetzt muss ich noch m und die Nullstelle also f(x) = 0 in Spiel bringen, aber wie? Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Di 11.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Das stimmt so leider nicht.
Wenn Du den Funktionswert haben möchtest, musst Du in die Ausgangsfunktionsvorschrift (und nicht in die Ableitung) einsetzen:
$$f(0) \ = \ [mm] a*0^3+b*0^2+c*0+d [/mm] \ = \ ... \ = \ -9$$
Mit der Ableitung erhältst Du de gegebene Steigung:
$$f'(0) \ = \ [mm] 3a*0^2+2b*0+c [/mm] \ = \ ... \ = \ 3$$
Als letzte Bestimmungsgleichung kann man herauslesen, dass bei $x \ = \ -3$ eine doppelte Nullstelle vorliegt; also auch die Ableitung ist hier gleich Null!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Di 11.12.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Wenn Du den Funktionswert haben möchtest, musst Du in die
> Ausgangsfunktionsvorschrift (und nicht in die Ableitung)
> einsetzen:
> [mm]f(0) \ = \ a*0^3+b*0^2+c*0+d \ = \ ... \ = \ -9[/mm]
ich weiß dass die Tangente den Graph im Punkt (0|-9) berührt und deswegen muss ich hier die normale Funktion hernehmen, oder? Bei den einzelnen Schritten wäre ich um eine Erklärung dankbar.
anstatt f(x) kann ich ja auch y schreiben:
[mm] $-9=a*0^3+b*0^2+c*0+d$
[/mm]
$-9=d$
> Mit der Ableitung erhältst Du de gegebene Steigung:
> [mm]f'(0) \ = \ 3a*0^2+2b*0+c \ = \ ... \ = \ 3[/mm]
ich habe den Punkt P und dort beträgt die Steiung 3, also:
[mm] $-9=3a*0^2+2b*0+c$
[/mm]
$-9=c$
es müsste aber 3 sein in diesem Punkt, oder darf ich hier nur den x-Wert einsetzen?
> Als letzte Bestimmungsgleichung kann man herauslesen, dass
> bei [mm]x \ = \ -3[/mm] eine doppelte Nullstelle vorliegt; also auch
> die Ableitung ist hier gleich Null!
f'(x)=0, die Tangente hat in diesem Punkt keine Steigung, also:
[mm] $3a*x^2+2b*x+c [/mm] = 0; x=-3$
[mm] $3a*-3^2+2b*-3+3 [/mm] = 0$
$27a-6b=-3$
Nun hab ich noch zwei Variablen über, Wo hab ich einen Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Di 11.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Itse,
Der Graph G(f) einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades berührt die x-Achse bei x=-3. Die Steigung der Tangente im Punkt P(0|-9) beträgt 3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f.
> [mm]-9=d[/mm]
richtig.
> ich habe den Punkt P und dort beträgt die Steiung 3, also:
f'(0) = 3.
> [mm]-9=3a*0^2+2b*0+c[/mm]
> [mm]-9=c[/mm]
leider nicht. Links vom Gleichheitszeichen steht 3.
> es müsste aber 3 sein in diesem Punkt, oder darf ich hier
> nur den x-Wert einsetzen?
genau. Der "y-Wert" der Ableitung ist die Steigung.
> > Als letzte Bestimmungsgleichung kann man herauslesen, dass
> > bei [mm]x \ = \ -3[/mm] eine doppelte Nullstelle vorliegt; also auch
> > die Ableitung ist hier gleich Null!
Daraus ergeben sich die beiden Bedingungen
f(-3) = 0 und f'(-3) = 0
Nach einsetzen der schon gefundenen Werte für c und d kannst du aus diesen beiden Gleichungen dann a und b berechnen.
> f'(x)=0, die Tangente hat in diesem Punkt keine Steigung,
Man schreibt daher f'(-3) = 0
> [mm]3a*x^2+2b*x+c = 0; x=-3[/mm]
> [mm]3a*-3^2+2b*-3+3 = 0[/mm]
> [mm]27a-6b=-3[/mm]
ja.
Jetzt noch f(-3) = 0 verwerten.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 12.12.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo Itse,
>
> Der Graph G(f) einer ganzrationalen Funktion f dritten
> Grades berührt die x-Achse bei x=-3. Die Steigung der
> Tangente im Punkt P(0|-9) beträgt 3. Bestimmen Sie die
> Funktionsgleichung der Funktion f.
>
> > [mm]-9=d[/mm]
>
> richtig.
>
> > ich habe den Punkt P und dort beträgt die Steiung 3, also:
>
> f'(0) = 3.
>
> > [mm]-9=3a*0^2+2b*0+c[/mm]
> > [mm]-9=c[/mm]
>
> leider nicht. Links vom Gleichheitszeichen steht 3.
>
> > es müsste aber 3 sein in diesem Punkt, oder darf ich hier
> > nur den x-Wert einsetzen?
>
> genau. Der "y-Wert" der Ableitung ist die Steigung.
f'(0)=3 -> 3a0²+2b0+c=3 -> c=3
> > > Als letzte Bestimmungsgleichung kann man herauslesen, dass
> > > bei [mm]x \ = \ -3[/mm] eine doppelte Nullstelle vorliegt; also auch
> > > die Ableitung ist hier gleich Null!
>
> Daraus ergeben sich die beiden Bedingungen
> f(-3) = 0 und f'(-3) = 0
>
> Nach einsetzen der schon gefundenen Werte für c und d
> kannst du aus diesen beiden Gleichungen dann a und b
> berechnen.
>
> > f'(x)=0, die Tangente hat in diesem Punkt keine Steigung,
>
> Man schreibt daher f'(-3) = 0
>
> > [mm]3a*x^2+2b*x+c = 0; x=-3[/mm]
> > [mm]3a*-3^2+2b*-3+3 = 0[/mm]
> >
> [mm]27a-6b=-3[/mm]
>
> ja.
> Jetzt noch f(-3) = 0 verwerten.
f(-3)=0
f(x)=ax³+bx²+cx+d ->
a(-3)³+b(-3)²+3(-3)-9=0
1: -27a+9b=18
2: 27a-6b=-3
1+2: 3b=15 -> b=5 in 1: -27a+9 [mm] \cdot{} [/mm] 5=18 -> a=1
aus diesen Erkenntnissen folgt:
f(x)=x³+5x²+3x-9
So müsste es ja stimmen? Der Plot davon hat grafisch aus gepasst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Passt ...
Gruß
Loddar
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