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Fundamentalsysteme berechnen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 Mi 29.06.2011
Autor: kaschina

Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem der folgenden homogenen linearen Differentialgleichungssysteme:
[mm] y'(x) = \pmat{ 3&1&-1 \\ 1&3&-1\\3&3&-1 } * y(x) [/mm]



Hallo,

ich brauche mal wieder Hilfe, ...

Ich weiß, dass ich die Eigenwerte über das charakteristische Polynom berechnen muss.
In diesem Fall sind dann 1 eine einfache und zwei eine doppelte Nullstelle:
[mm] y_1 = 1 y_{2,3} = 2 [/mm]
Daraus wird dann "irgendwie" ein Fundamentalsystem gebildet,
indem man die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bildet. Zwischenschritte gekürzt,
da dürfte noch nicht das Problem sein...
[mm] y_1 = e^x \pmat{1\\1\\0} [/mm]
Bei dem Eigenwert 2 sieht das dann glaub ich anders aus?
Ich hab nur ehrlich gesagt nicht ganz verstanden, wie...
(alles, was eine algebraische Vielfachheit > 1 hat, wird anders gebildet?)

Wäre lieb, wenn es jemand kurz erklären könnte?

        
Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Mi 29.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo kaschina,


> Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem der
> folgenden homogenen linearen
> Differentialgleichungssysteme:
>  [mm]y'(x) = \pmat{ 3&1&-1 \\ 1&3&-1\\ 3&3&-1 } * y(x)[/mm]
>  
>
> Hallo,
>  
> ich brauche mal wieder Hilfe, ...
>  
> Ich weiß, dass ich die Eigenwerte über das
> charakteristische Polynom berechnen muss.
>  In diesem Fall sind dann 1 eine einfache und zwei eine
> doppelte Nullstelle: [ok]
>  [mm]y_1 = 1 y_{2,3} = 2[/mm]
>  Daraus wird dann "irgendwie" ein
> Fundamentalsystem gebildet,
>  indem man die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bildet.
> Zwischenschritte gekürzt,
>  da dürfte noch nicht das Problem sein...

Oder doch ?!

>   [mm]y_1 = e^x \pmat{1\\ 1\\ 0}[/mm]

Ich bekomme aber zum Eigenwert [mm] $\lambda=1$ [/mm] als Eigenvektor [mm] $\vektor{1\\1\\\red{3}}$ [/mm]

>  Bei dem Eigenwert 2 sieht das
> dann glaub ich anders aus?
>  Ich hab nur ehrlich gesagt nicht ganz verstanden, wie...
>  (alles, was eine algebraische Vielfachheit > 1 hat, wird

> anders gebildet?)

Nun, rechne doch die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $\lambda=2$ [/mm] mal konkret aus.

Ich komme auf zwei linear unabh. Eigenvektoren, da brauchst du also für dein Fundamentalsystem keine Hauptbektoren und keinen sonstigen Stress ...

>  
> Wäre lieb, wenn es jemand kurz erklären könnte?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Do 30.06.2011
Autor: kaschina

Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem der folgenden homogenen linearen Differentialgleichungssysteme.
[mm] y'(x) = \pmat{1&0&0\\2&1&-2\\3&2&1} y(x) [/mm]

Mmmh ja, schön, wenn man die eigene Schrift nicht lesen kann :P
Ich hatte den Eigenvektor schon richtig...

Und das sieht wohl gerade ein wenig konfus aus...
Hier sind dann nochmal die Eigenvektoren zu der ersten Aufgabe
Also:
[mm] y_1 = \pmat{1\\1\\3} y_2 = \pmat{-1\\1\\0} y_3 =\pmat {1\\0\\1} [/mm]

Und dann eine zweite Aufgabe, weil ich um die Sache mit den Hauptvektoren wohl doch nicht rumkomme...




Bei der Aufgabe hier habe ich nur den Eigenwert 1.
(Nur reelle Lösungen gewünscht...)
Und als einzigen Eigenwert hätte ich
[mm] \pmat{2\\-3\\2}[/mm]
Was muss ich jetzt damit machen??

Bezug
                        
Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Do 30.06.2011
Autor: MathePower

Hallo kaschina,

> Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem der
> folgenden homogenen linearen
> Differentialgleichungssysteme.
>  [mm] y'(x) = \pmat{1&0&0\\2&1&-2\\3&2&1} y(x) [/mm]
>  Mmmh ja, schön,
> wenn man die eigene Schrift nicht lesen kann :P
>  Ich hatte den Eigenvektor schon richtig...
>  
> Und das sieht wohl gerade ein wenig konfus aus...
>  Hier sind dann nochmal die Eigenvektoren zu der ersten
> Aufgabe
>  Also:
>  [mm] y_1 = \pmat{1\\1\\3} y_2 = \pmat{-1\\1\\0} y_3 =\pmat {1\\0\\1} [/mm]
>  


[ok]


> Und dann eine zweite Aufgabe, weil ich um die Sache mit den
> Hauptvektoren wohl doch nicht rumkomme...
>  
> Bei der Aufgabe hier habe ich nur den Eigenwert 1.
>  (Nur reelle Lösungen gewünscht...)
>  Und als einzigen Eigenwert hätte ich
>  [mm] \pmat{2\\-3\\2}[/mm]
>  Was muss ich jetzt damit machen??


Nun, eine Lösung des obigen DGL-Systems ist dann:

[mm]\pmat{2\\-3\\2}*e^{x}[/mm]


Zunächst liefert das obige DGL-System eine komplexe Lösung.
Aus dieser komplexen Lösung des DGL-Systems läßt sich
bei geigneter Wahl der Konstanten eine reelle Lösung konstruieren.

Berechne daher zunächst alle Eigenvektoren.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
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Fundamentalsysteme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Do 30.06.2011
Autor: kaschina

Eigenwert [mm] y_1 [/mm] = 1
Eigenwert [mm] y_2 [/mm] = 1 - 2i;
Eigenwert [mm] y_3 [/mm] = 1 + 2i;
zum Eigenwert 1-2î:
  [mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] \pmat{0\\-i\\1} [/mm]
[mm] y_3 [/mm] = [mm] \pmat{0\\i\\1} [/mm]

[mm] y_1 [/mm] = [mm] \pmat{2\\-3\\2} [/mm]

(und danke zwischendurch schonmal für die Hilfe!!)

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Fundamentalsysteme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Do 30.06.2011
Autor: MathePower

Hallo kaschina,

> Eigenwert [mm]y_1[/mm] = 1
>  Eigenwert [mm]y_2[/mm] = 1 - 2i;
>  Eigenwert [mm]y_3[/mm] = 1 + 2i;
>   zum Eigenwert 1-2î:
>    [mm]

[mm]y_2[/mm] = [mm]\pmat{0\\-i\\1}[/mm]
[mm]y_3[/mm] = [mm]\pmat{0\\i\\1}[/mm]

[mm]y_1[/mm] = [mm]\pmat{2\\-3\\2}[/mm]


[ok]


> (und danke zwischendurch schonmal für die Hilfe!!)


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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Fundamentalsysteme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Do 30.06.2011
Autor: kaschina

Aber damit habe ich dann doch eine komplexe Lösung?

Nehme ich dann doch nur den einen Eigenvektor?

Bezug
                                                        
Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Do 30.06.2011
Autor: MathePower

Hallo kaschina,

> Aber damit habe ich dann doch eine komplexe Lösung?
>  


Das ist richtig.


> Nehme ich dann doch nur den einen Eigenvektor?


Nein-

Schreibe erstmal die komplexe Lösung des DGL-Systems auf.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Do 30.06.2011
Autor: kaschina

Hmm,

das wäre dann:
[mm] y_1 =e^x \vektor{2 \\ -3\\2} y_2 = e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-1\\1} y_3 = e^{x(1+2i)}\vektor{0\\i\\1} [/mm]

Ab hier hatte ich ehrlichgesagt schon keine Ahnung mehr..


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Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Do 30.06.2011
Autor: MathePower

Hallo kaschina,

> Hmm,
>  
> das wäre dann:
>  [mm] y_1 =e^x \vektor{2 \\ -3\\2} y_2 = e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-1\\1} y_3 = e^{x(1+2i)}\vektor{0\\i\\1} [/mm]

>


Hier muiss es doch lauten:

[mm]y_2 = e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-\blue{i}\\1} [/mm]


> Ab hier hatte ich ehrlichgesagt schon keine Ahnung mehr..

>


Die Lösungen  des DGL-Systems sind dann
sämtliche Linearkombinationen davon.

[mm]y=c_{1}*y_{1}+c_{2}*y_{2}+c_{3}*y_{3}[/mm]


Gruss
MathePower

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Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 Do 30.06.2011
Autor: kaschina

Ich schiebs jetzt einfach mal auf die Müdigkeit, ...
Ich steh komplett auf dem Schlauch und werd dann morgen früh mal in Ruhe nochmal drüberschauen.

Trotzdem vielen vielen Dank!!

Bezug
                                                                                        
Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:04 Fr 01.07.2011
Autor: kaschina

Also angefangen wird mit

y = [mm] e^x \vektor{2 \\ -3\\2} *c_1 [/mm] + [mm] c_2* e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-i\\1} +c_3* e^{x(1+2i)}\vektor{0\\i\\1} [/mm] $


Die Lösungen, die ich bekomme, haben allerdings alle "i"s.
Bzw sind so kompliziert, dass ich wohl was falsch gemacht habe.

Soll ich das wirklich in Matrizenform lösen?


Bezug
                                                                                                
Bezug
Fundamentalsysteme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Fr 01.07.2011
Autor: MathePower

Hallo kaschina,

> Also angefangen wird mit
>
> y = [mm]e^x \vektor{2 \\ -3\\2} *c_1[/mm] + [mm]c_2* e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-i\\1} +c_3* e^{x(1+2i)}\vektor{0\\i\\1}[/mm]
> $
>  
>
> Die Lösungen, die ich bekomme, haben allerdings alle
> "i"s.
>  Bzw sind so kompliziert, dass ich wohl was falsch gemacht
> habe.


Verwende jetzt die Eulersche Identität, um das auszurechen.
Und trenne das nach Real- und Imaginärteil.


>  
> Soll ich das wirklich in Matrizenform lösen?

>

Gruss
MathePower  

Bezug
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