Fundamentalsystem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 30.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
| Aufgabe | Bestimmen Sie
a) ein Fundamentalsystem für das lineare Differentialgleichungssystem
[mm] $y'_1=-4y_1+6y_2-3y_3 [/mm] $
[mm] $y'_2=-y_2
[/mm]
[mm] $y'_3=6y_1-12y_2+5y_3$
[/mm]
b) und die spezielle Lösung zu dem Anfangswert
[mm] $y(0)=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -4\end{pmatrix} [/mm] |
also aus dem gegebenem System habe ich die Matrix A erstellt mit
[mm] $A=\begin{pmatrix}
-4 & 6 &-3 \\
0 & -1& 0 \\
6 & -12 & 5
\end{pmatrix} [/mm]
zuerst hab ich die Eigenwerte mit
[mm] $det(A-C*E_3)=0$ [/mm] berechnet
daraus folgt:
[mm] \begin{vmatrix}
0-C & 0 & -2 \\
1 & 2-C & 1 \\
1 & 0 & 3-C
\end{vmatrix} [/mm] =0
ergibt
[mm] $0=(-4-C)*(-1-C)(5-C)-\left(6*(-1-C)*(-3)\right)$
[/mm]
[mm] $0=-C^3+3C+2$
[/mm]
[mm] $C_1=C_2=-1 [/mm] ; [mm] C_3=2$
[/mm]
2 ist Eigenwert mit Ordnung und Vielfachheit1
-1 ist Eigenwert mit Ordnung 2 und Vielfachheit
[mm] $V_A(-1)=3-rg(A-(-1)*E_3)$
[/mm]
[mm] V_A(-1)= [/mm] 3-rg [mm] \begin{pmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
6 & -11 & 5
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] V_A(-1) [/mm] =3-2 =1
Es gibt also eine invertierbare Matrix U
mit
[mm] A*U=U*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Zur Bestimmung der Spalten $ [mm] U_i [/mm] (i [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 3) $ von U berechnet man die Eigenvektoren.
Der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $C_1=-1$ [/mm] ist der Lösungsraum von
[mm] \begin{pmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
6 & -11 & 5
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Also
[mm] $-3x_1+6x_2-3x_3=0$
[/mm]
[mm] $0x_1+0x_2+0x_3=0$
[/mm]
[mm] $6x_1-11x_2+5x_3=0$
[/mm]
ergibt nach auflösen die Lösungsmenge
[mm] \left\{ \begin{pmatrix} s \\ s \\ s \end{pmatrix} s\in \IR \right\}
[/mm]
Eine Basis könnte somit
[mm] \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} [/mm] sein
Analog habe ich für [mm] $C_3=2$ [/mm] den Basisvektor
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
herausgefunden
ist das soweit richtig?
mein nächster Schritt wäre nun aus den drei linear unabhängigen Eigenvektoren eine Matrix aufzustellen.
Die sind aber doch nicht linear unabhängig oder?
also weiter ginge es so:
man erhält die Matrix [mm] $U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Daraus ergäbe sich ein Fundamentalsystem
$ [mm] e^{-x}*\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},e^{-x}*\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},e^{2x}*\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
[/mm]
das Wäre meine a) habe aber bedenken...
bei der b) weiß ich gar nicht was ich machen soll kann aber eigentlich nicht mehr viel sein oder?
MFG sürn
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Hallo xsuernx,
> Bestimmen Sie
> a) ein Fundamentalsystem für das lineare
> Differentialgleichungssystem
> [mm]y'_1=-4y_1+6y_2-3y_3[/mm]
> [mm]$y'_2=-y_2[/mm]
> [mm]y'_3=6y_1-12y_2+5y_3[/mm]
>
> b) und die spezielle Lösung zu dem Anfangswert
> [mm]$y(0)=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -4\end{pmatrix}[/mm]
> also aus
> dem gegebenem System habe ich die Matrix A erstellt mit
> [mm]$A=\begin{pmatrix}
-4 & 6 &-3 \\
0 & -1& 0 \\
6 & -12 & 5
\end{pmatrix}[/mm]
> zuerst hab ich die Eigenwerte mit
> [mm]det(A-C*E_3)=0[/mm] berechnet
> daraus folgt:
> [mm]\begin{vmatrix}
0-C & 0 & -2 \\
1 & 2-C & 1 \\
1 & 0 & 3-C
\end{vmatrix}[/mm]
> =0
> ergibt
> [mm]0=(-4-C)*(-1-C)(5-C)-\left(6*(-1-C)*(-3)\right)[/mm]
> [mm]0=-C^3+3C+2[/mm]
> [mm]C_1=C_2=-1 ; C_3=2[/mm]
> 2 ist Eigenwert mit Ordnung und
> Vielfachheit1
> -1 ist Eigenwert mit Ordnung 2 und Vielfachheit
> [mm]V_A(-1)=3-rg(A-(-1)*E_3)[/mm]
> [mm]V_A(-1)=[/mm] 3-rg [mm]\begin{pmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
6 & -11 & 5
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]V_A(-1)[/mm] =3-2 =1
>
> Es gibt also eine invertierbare Matrix U
> mit
> [mm]A*U=U*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Zur Bestimmung der Spalten [mm]U_i (i \le i \le 3)[/mm] von U
> berechnet man die Eigenvektoren.
>
>
> Der Eigenraum zum Eigenwert [mm]C_1=-1[/mm] ist der Lösungsraum
> von
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
6 & -11 & 5
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Also
> [mm]-3x_1+6x_2-3x_3=0[/mm]
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3=0[/mm]
> [mm]6x_1-11x_2+5x_3=0[/mm]
Letzte Gleichung muss doch so lauten:
[mm]6x_1-1\blue{2}x_2+\blue{6}x_3=0[/mm]
> ergibt nach auflösen die Lösungsmenge
> [mm]\left\{ \begin{pmatrix} s \\ s \\ s \end{pmatrix} s\in \IR \right\}[/mm]
>
> Eine Basis könnte somit
> [mm]\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
> sein
>
> Analog habe ich für [mm]C_3=2[/mm] den Basisvektor
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> herausgefunden
>
> ist das soweit richtig?
>
Nein, das ist nicht richtig.
> mein nächster Schritt wäre nun aus den drei linear
> unabhängigen Eigenvektoren eine Matrix aufzustellen.
> Die sind aber doch nicht linear unabhängig oder?
>
> also weiter ginge es so:
>
> man erhält die Matrix [mm]$U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Daraus ergäbe sich ein Fundamentalsystem
> $ [mm]e^{-x}*\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},e^{-x}*\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},e^{2x}*\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},[/mm]
>
> das Wäre meine a) habe aber bedenken...
>
> bei der b) weiß ich gar nicht was ich machen soll kann
> aber eigentlich nicht mehr viel sein oder?
> MFG sürn
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Do 30.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
Okay hatte mir ja schon gedacht das es falsch ist...
kannst du mir sagen wo der fehler liegt?
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Hallo xsuernx,
> Okay hatte mir ja schon gedacht das es falsch ist...
> kannst du mir sagen wo der fehler liegt?
Den ersten Fehler habe ich Dir markiert.
Das Gleichungssystem zur Bestimmung der Eigenvektoren
zum Eigenwert -1 ist falsch.
Der zweite Fehler ist, ein Eigenvektor
kann niemals der Nullvektor sein.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Do 30.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
Okay, stimmt die Matrix ist falsch
wenn ich aber mit der neuen [mm] $x_1,x_2 [/mm] $ und [mm] $x_3$ [/mm] bestimme komme ich wieder auf $ [mm] \left\{ \begin{pmatrix} s \\ s \\ s \end{pmatrix} s\in \IR \right\} [/mm] $
und damit habe ich die gleiche Ausgangssituation wie vorher.
-------------------------------------------------------------------
Da ein Eigenvektor ja nie ein Nullvektor sein darf muss ja bei dem Eigenvektor zu [mm] $C_3$ [/mm] ebenfalls was falsch sein da habe ich nämlich eindeutig [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] raus und nicht [mm] \begin{pmatrix} s \\ s \\ s \end{pmatrix} [/mm] .
da müsste es ja ebenfalls
[mm] $(A-C_3*E_3)*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
also
[mm] \begin{pmatrix} -6 & 6 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & -12 & 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
und da bekomme ich nach auflösen [mm] $x_1=x_2=x_3=0 [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Sa 01.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay, stimmt die Matrix ist falsch
>
> wenn ich aber mit der neuen [mm]x_1,x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] bestimme komme
> ich wieder auf [mm]\left\{ \begin{pmatrix} s \\ s \\ s \end{pmatrix} s\in \IR \right\}[/mm]
>
> und damit habe ich die gleiche Ausgangssituation wie
> vorher.
>
> -------------------------------------------------------------------
> Da ein Eigenvektor ja nie ein Nullvektor sein darf muss
> ja bei dem Eigenvektor zu [mm]C_3[/mm] ebenfalls was falsch sein da
> habe ich nämlich eindeutig [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> raus und nicht [mm]\begin{pmatrix} s \\ s \\ s \end{pmatrix}[/mm] .
> da müsste es ja ebenfalls
> [mm]$(A-C_3*E_3)*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> also
> [mm]\begin{pmatrix} -6 & 6 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & -12 & 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Das stimmt nicht.
Richtig:
[mm]\begin{pmatrix} -6 & 6 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 6 & -12 & 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
FRED
> und da bekomme ich nach auflösen [mm]x_1=x_2=x_3=0[/mm]
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:13 So 02.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
> Das stimmt nicht.
>
> Richtig:
>
> [mm]\begin{pmatrix} -6 & 6 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 6 & -12 & 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> FRED
>
Danke:)
habe jetzt für die [mm]\begin{pmatrix} -6 & 6 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 6 & -12 & 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
einen Lösungsvektor von [mm] \begin{pmatrix} -s \\ 0 \\ 2s \end{pmatrix}
[/mm]
damit wäre die es für $C=2$ klar
aber bei $C=-1$ müsste ja auch noch ein fehler sein oder?
Mfg Sören
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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