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| Aufgabe | Zu bestimmen ist das Lösungs-Fundamentalsystem der BESSELschen DGL zum Parameter p=1/2 :
[mm] y''+\frac{1}{x} y'+(1-\frac{1}{4x^{2}})y=0~~~,x>0
[/mm]
durch den Ansatz: [mm] y=\frac{z}{\sqrt{x}} [/mm] |
Hallo an alle!
Ich hab hier eine Aufgabe, die ich meine gelöst zu haben, allerdings weiß ich nicht, wie man die Lösung korrekt aufschreibt.
Also ich hab zunächst y zweimal abgeleitet und dann alles in die DGL eigesetzt und dadurch eine ganz einfache DGL für z bekommen:
z''+z=0
Durch den Lösungsansatz: [mm] z=e^{\lambda x} [/mm] das charkteristische Polynom rausbekommen: [mm] \lambda^{2}+1=0
[/mm]
also [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i
also [mm] z_{1}=e^{ix}
[/mm]
und [mm] z_{2}=e^{-ix}
[/mm]
So nun bin ich mir nicht sicher, wie man jetzt die Lösung aufschreibt. Also ich würde sie so aufschreiben: das Lösungs-Fundamentalsystem der DGL sieht so aus:
[mm] L=\begin{pmatrix} \frac{e^{ix}}{\sqrt{x}} \\ \frac{e^{-ix}}{\sqrt{x}} \\ \end{pmatrix} [/mm]
Ist das so ok? Oder gibt man das anders an?
Und wie würde ich vorgehen um ein reelles Fundamentalsystem dazu zu kriegen? Müsste ich dann die e-Fkt. zerlegen und nur die Realteile also nur die cosinuse hinschreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Di 14.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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