Fundamentalsatz der Algebra < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mi 05.10.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich muss p(x) = [mm] x^4+17 [/mm] als Produkt von Linearfaktoren nach dem Fundamentalsatz der Algebra angeben.
Nur bekomme ich ja 4 unterschiedliche komplexe Lösungen oder?
Bzw wie bekomme ich aus vierte [mm] \wurzel{-17} [/mm] die Lösungen
ich kann nur Bsp lösen dieser Art: [mm] \wurzel{4+4i} [/mm] aber im oberen Bsp fehlt oder der Imaginärteil?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mi 05.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib einfach deine [mm] -17=r*e^{i\phi} [/mm] und dann Wurzel ziehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mi 05.10.2011 | | Autor: | racy90 |
d.h mein r= [mm] \wurzel{17} [/mm] und mein phi= [mm] tan\alpha \bruch{b}{a} [/mm] nur was ist mein b?
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Hallo racy90,
> d.h mein r= [mm]\wurzel{17}[/mm]
Nein!
[mm]\left|z^4\right|=|z|^4=|-17|=|-17+0\cdot{}i|=\sqrt{(-17)^2+0^2}=17[/mm]
Damit [mm]|z_k|=\sqrt[4]{17}[/mm]
> und mein phi= [mm]tan\alpha \bruch{b}{a}[/mm]
> nur was ist mein b?
Na, wo liegt denn [mm]z^4=-17[/mm] im Koordinatensystem?
Doch auf der negativen reellen Achse, da kannst du doch [mm]\varphi[/mm] ablesen:
[mm]\varphi=\operatorname{arg}\left(z^4\right)=\arg(-17)=\pi[/mm] bzw. [mm]180^{\circ}[/mm]
Wie sehen nun die Lösungen [mm]z_k[/mm] aus? ([mm]k=0,1,2,3[/mm])
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 05.10.2011 | | Autor: | racy90 |
okay danke.
Naja jeweils um 90° verschieden
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Hallo racy,
> okay danke.
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> Naja jeweils um 90° verschieden
Hm. Schon, ja - das folgt aus dem Satz von Moivre. Aber [mm] \wurzel[4]{17} [/mm] ist ja z.B. keine Lösung.
Du brauchst erstmal eine, z.B. auf dem Weg, den Du eigentlich schon eingeschlagen hattest.
Ansonsten liegt eine bei [mm] z=\wurzel{17i}. [/mm] Fragt sich nur, was eigentlich [mm] \wurzel{i} [/mm] ist. Das lohnt sich übrigens auswendig zu wissen...
Grüße
reverend
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