Fundamentallösung eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Do 12.06.2008 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | | Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & -2 & -1} [/mm] Koeffizientenmatrix eines LGS. |
Hallo ihr!
Ich bin gerade meine Unterlagen am nacharbeiten, und habe nun etwas, bei dem ich nicht so ganz weiter weiß. Ich habe also die Koeffizientenmatrix des LGS wie oben gegeben.
Nach Anwendung des Gauss-Algorithmus bekommt man folgendes heraus:
[mm] \to \pmat{1 & 0 & 2 & 4 & 3\\0 & 1 & 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] wobei mein einmal die Spalte 2 mit Spalte 3 vertauscht hat (anscheinend wichtig?!)
Nun wurde gesagt, dass sich eine Lösung des homogenen LGS eindeutig in der Gestalt
x = [mm] t_1l_1 [/mm] + [mm] t_2l_2 [/mm] + ... + [mm] t_{n-r}l_{n-r} [/mm] darstellen lässt, wobei die [mm] l_1 [/mm] bis [mm] l_{n-r} [/mm] die Spalten der Matrix [mm] \pmat{-B \\ E_{n-r}} [/mm] sind, sofern das LGS die Gestalt [mm] \pmat{E_r && B \\ 0 && 0} [/mm] hat, auf die man es ja immer bringen kann.
Meine Frage ist nun: Wieso sind bei dem oben angegebenen Beispiel als [mm] l_1, l_2, l_3 [/mm] folgende Vektoren angegeben?
[mm] l_1 [/mm] = [mm] \pmat{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} l_2 [/mm] = [mm] \pmat{-4 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0} l_1 [/mm] = [mm] \pmat{-3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Scheinbar haben sich die 2. und 3. Zeile vertauscht. Hat das was damit zu tun, dass man beim Gauss-Algorithmus die 2. und 3. Spalte vertauscht hat? Wenn ja: Wieso?
Das will mir noch nicht so ganz einleuchten.
Ich hoffe, dass mir einer Licht ins Dunkle bringen kann :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du dir das als GlS vorselltst steht ja in der 2.ten Sp x2, in der 3.ten x3, wenn du die vertauschst stehen sie umgekehrt, dein "Lösungsvektor hätte also die form [mm] (x1,x3,x2,x4,x5)^T [/mm] damit er wie üblich dasteht, musst du natürlich die Zeilen vertauschen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 12.06.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Aaaah! Okay! Das leuchtet mir tatsächlich ein!
Bilden die drei Vektoren, bei denen ich die Komponenten nicht vertausche, nicht trotzdem auch eine Fundamentallösung, bzw. eine Basis?
Zumindest an der Linearen Unabhängigkeit ändert sich durch das Vertauschen ja eigentlich nichts, wenn ich das jetzt richtig verstehe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
aber eben nicht in der Standardbasis. und wenn die [mm] x_i [/mm] wie z.Bsp in der Wirtschaftsmathematik etwa Produktionskosten sind, vertut man sich dann ganz schnell. Wenn du mit einer Basis rechnest, und plözlich zu ner anderen wechselst musst du das zumindest dazusagen, tust es aber besser nicht!
wenn du dagegen einfach ein GS auflöst, musst du dir halt merken, dass der zweite jetzt der ehemals dritte ist und umgekehrt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Do 12.06.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Alles klar! Ich hab mir das ganze nochmal vor Augen geführt und denke, dass ich des nun beherrsche ;)
Vielen Dank für deine Erklärungen leduart!
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