Für welche x konvergiert Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche reelle Zahlen x konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^n}{n}? [/mm] |
Ich hätte da ne Lösung, aber spricht was dagegen das so einfach zu machen?
Wenn ich mir die Reihe angucke, da springt mich doch der ln an:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{x^n}{n}=ln(x+1)
[/mm]
da hätt ichs mir doch einfach gemacht und gesagt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^n}{n}=(-1)*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{x^n}{n}=- [/mm] ln(x+1)
Für x>-1 konvergiert die Reihe...
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Huhu,
> Für x>-1 konvergiert die Reihe...
und das stimmt nicht. Die Reihe hat den Konvergenzradius 1
MFG,
Gono.
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versteh ich nicht. ich muss dich gucken für welche x ln(x+1) definiert ist, bzw wenn nicht, warum nicht?
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Hallo celeste16,
> versteh ich nicht. ich muss dich gucken für welche x
> ln(x+1) definiert ist, bzw wenn nicht, warum nicht?
Du musst die gegebene (Potenz)Reihe mit einem geeigneten Konvergenzkriterium untersuchen, bzw. ihren Konvergenzradius berechnen.
Dazu gibt es diverse Formeln.
Nimm etwa Cauchy-Hadamard und berechne [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}[/mm] mit [mm]a_n=\frac{(-1)^n}{n}[/mm]
Dann hast du (absolute) Konvergenz für [mm]|x|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>\rho[/mm]
Für [mm]x=\pm\rho[/mm] musst du durch Einsetzen in die Reihe das Konvergenzverhalten separat prüfen.
Dass die Reihe dir im Konvergenzintervall die Funktion [mm]\ln(1+x)[/mm] definiert oder beschreibt, weißt du ja erstmal aus der Aufgabenstellung gar nicht ...
Gruß
schachuzipus
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diese Formel geht nur hier in diesem Fall, weil es eine Potenzreihe ist, oder?
demnach wäre [mm] \rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\bruch{(-1)^n}{n}|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bruch{1}{n}}}=1
[/mm]
-> für alle |x| [mm] \le [/mm] 1 konvergiert die Reihe, sonst divergiert sie
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Huhu,
ja, so wie sie da stehen, gelten die Formeln nur für Potenzreihen.
> -> für alle |x| [mm]\le[/mm] 1 konvergiert die Reihe, sonst divergiert sie
Nein!
Wie Schachuzipus bereits sagte, weißt du nur, dass sie für Werte echt kleiner des Konvergenzradius konvergiert und für Werte echt grösser divergiert sie.
Was auf dem Konvergenzradius passiert, musst du noch gesondert untersuchen.
MFG,
Gono.
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wenn ich mir doch aber x=1 angucke, dann strebt die reihe doch gegen 0 und konvergiert damit
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Hallo nochmal,
> wenn ich mir doch aber x=1 angucke, dann strebt die reihe
> doch gegen 0 und konvergiert damit
Bitte was?
Für [mm]x=1[/mm] erhalte ich durch naives Einsetzen [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}[/mm]
Das ist die alternierende harmonische Reihe, die gegen -[mm]\ln(2)[/mm] konvergiert.
Du meintest v..t: "die Folge der Reihenglieder ist eine Nullfolge"
Das stimmt und ist auch notwendiges Kriterium für die KOnvergenz der zugehörigen Reihe.
Aber hinreichend ist das nicht, sprich: es impliziert Konvergenz der Reihe keineswegs, wie die harmonische Reihe zeigt ...
Setze mal den anderen Randpunkt ein ...
Gruß
schachuzipus
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ok, erst mal zum verständis: dass es konvergiert, heißt doch dass x=1 auch mit einbegriffen ist. wenn nein, habe ich nicht verstanden warum nicht.
ich weiß nicht welchen anderen randpunkt du meinst
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Hallo nochmal,
> ok, erst mal zum verständis: dass es konvergiert, heißt
> doch dass x=1 auch mit einbegriffen ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wenn nein, habe
> ich nicht verstanden warum nicht.
Bisher haben wir Konvergenz der Reihe für [mm]x\in(-1,1][/mm]
>
> ich weiß nicht welchen anderen randpunkt du meinst
Welcher kann das wohl sein?
Wir haben durch das Konvergenzkriterium automatisch Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>1[/mm]
Für [mm]|x|\red{=}1[/mm] ist's noch unklar.
[mm]x=+1[/mm] haben wir gerade untersucht und festgestellt, dass die Reihe für [mm]x=1[/mm] auch konvergiert.
Wie kann da der andere Randpunkt sein?
Welche beiden Werte sind denn mit [mm]|x|=1[/mm] beschrieben??
Oben hatte ich das aber auch schon allgemeiner gesagt mit dem Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] - dort hatte ich auch die Randpunkte erwähnt.
Du musst die posts genauer lesen.
Sonst ist alles sinnloses Wiederholen von bereits gegebenen Antworten!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mi 08.12.2010 | | Autor: | celeste16 |
ok, ich hatte natürlich ausgeblendet, dass wir immer den lxl betrachtet haben.
für x=-1 ist der Grenzwert dann +ln(2) und die Reihe konvergiert damit
tut mir leid für deine mühe, das war wirklich ne schwere geburt.
falls es dich tröstet: dank dir bin ich einen weiteren schritt zur erkenntnis gelangt
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
