Für welche a, b ist f(x) diff. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:57 Di 22.02.2011 | | Autor: | ehade |
| Aufgabe | | Sei f R --> R definiert durch x³ + 4 für x<0 und ax+b für x > 0. Für welches a,b Element R ist f überall differenzierbar? |
Hallo Leute
Morgen ist großer Mathetest und ich würde mich freuen wenn jemand kurz das Erg. überprüfen könnte.
Zunächst einmal kann man wohl davon ausgehen, dass die Funktion – wenn dann – nur in x = 0 nicht differenzierbar wäre. Davon ausgehend, dass x³ +4 und ax +b in x=0 den selben y-Wert haben, gilt also folgende Gleichung
0³ + 4 = a* 0 + b
4 = b
Damit haben wir schon einmal eine der Unbekannten gefunden
Um a zu ermitteln verwende ich den Differenzenquotienten (f(xn) – f(x0)) /( xn – x0)) für rechts- und linksseitigen Näherung. Als Folge, die stets < 0 ist und gegen 0 konvergiert nehme ich (-1/n). Als Folge, die stets > 0 und gegen 0 konvergiert wähle ich (1/n)
x<0
((-1/n)³ + 4) – (0+4) /( (-1/n) - 0). <---->
(-1/n)². Dieser Ausdruck konvergiert gegen 0
x > 0 (Bei ax+4 habe ich die vorher ermittelte 4 schon eingesetzt)
(a(1/n) + 4) – (a0+4) /( (1/n) - 0). <---->
a
Jetzt löst man noch die Trivialgleichung a = 0 und kann behaupten, dass die obige Funktion für b = 4 und a = 0 überall differenzierbar ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ehade,
> Sei f R --> R definiert durch x³ + 4 für x<0 und ax+b
> für x > 0.
Und [mm]f(0)[/mm] ??
Ich vermute, irgendwo sollte [mm]\le[/mm] oder [mm]\ge[/mm] stehen?!
> Für welches a,b Element R ist f überall
> differenzierbar?
> Hallo Leute
> Morgen ist großer Mathetest und ich würde mich freuen
> wenn jemand kurz das Erg. überprüfen könnte.
>
>
> Zunächst einmal kann man wohl davon ausgehen, dass die
> Funktion – wenn dann – nur in x = 0 nicht
> differenzierbar wäre.
Ja!
> Davon ausgehend, dass x³ +4 und ax +b in x=0 den selben y-Wert haben,
Dass f also in [mm]x=0[/mm] stetig ist ...
> gilt also folgende
> Gleichung
> 0³ + 4 = a* 0 + b
> 4 = b ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damit haben wir schon einmal eine der Unbekannten gefunden
> Um a zu ermitteln verwende ich den Differenzenquotienten
> (f(xn) – f(x0)) /( xn – x0)) für rechts- und
> linksseitigen Näherung. Als Folge, die stets < 0 ist und
> gegen 0 konvergiert nehme ich (-1/n). Als Folge, die stets
> > 0 und gegen 0 konvergiert wähle ich (1/n)
Du brauchst keine Folgen, berechne einfach die Limites der Differenzenquotienten:
Und wie kannst du sicher sein, dass es alle anderen Nullfolgen ebenso tun?
Du darfst keine Bsp.folge auswählen, Beweis durch Bsp. zählt nix, du kannst höchstens mit einem Gegenbsp. eine Aussage widerlegen ...
[mm]\lim\limits_{x\to 0^+,0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
Dazu musst du aber wissen, wie [mm]f(0)[/mm] definiert ist ...
Das hast du mit der Stetigkeitsuntersuchung oben implizit getan.
Es muss $f(0)=4$ sein.
Dann setzt du (wie du auch richtig angesetzt hast) die entsprechende Definition von [mm]f(x)[/mm] ein, je nachdem, ob du dich mit den x'en links- oder rechtsseitig von 0 befindest ...
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> x<0
> ((-1/n)³ + 4) – (0+4) /( (-1/n) - 0). <---->
> (-1/n)². Dieser Ausdruck konvergiert gegen 0
>
> x > 0 (Bei ax+4 habe ich die vorher ermittelte 4 schon
> eingesetzt)
> (a(1/n) + 4) – (a0+4) /( (1/n) - 0). <---->
> a
Was ist a0??
Und benutze mal den Editor, so kann man ja nur vermuten, was du eigentlich machst ...
> Jetzt löst man noch die Trivialgleichung a = 0 und kann
> behaupten, dass die obige Funktion für b = 4 und a = 0
> überall differenzierbar ist.
Ja, das stimmt, die Rechnung ist aber nix, benutze den Differenzenquotienten.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Di 22.02.2011 | | Autor: | ehade |
Halolo. Vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Also eigentlich benutze ich den Differentialquotienten. Ich versuch es nochmal mit dem Formeleditor...
$ [mm] \lim\limits_{x\to0^-}\frac{((-1/n)^3+4)-(0^3+4)}{((-1/n)-0)} [/mm] $
$ [mm] \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{(a(1/n)+4))-(a(0)+4)}{((1/n)-0)} [/mm] $
Angenommen, man dürfte es doch mit Beispielfolgen zeigen, wäre es dann richtig?
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