Fubini < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 So 28.05.2006 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] (n=(x,y))sei durch
[mm] f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge0, x\ge y>x+1 \\ -1, & \mbox{für } x\ge 0, x+1\ge y>x+2 \mbox \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
definiert. zeigen Sie: [mm] $\integral\integral [/mm] {f(x,y) [mm] \lambda(dy)\lambda(dx)}= \integral\integral [/mm] {f(x,y) [mm] \lambda(dx)\lambda(dy)}$, [/mm] wobei [mm] \lambda= [/mm] Lebesque-Maß.
Warum widerspricht das Ergebnis nicht dem Satz von fubini? |
Hallo,
bei dieser Aufgabe kann ich leider die Integrale nicht berechnen, weil ich mir darunter einfach nichts vorstellen kann. Normale Funktionen, kein Problem, aber solche ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") und dann auch noch das Lebesque-Maß ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
bitte, bitte helft mir!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo wee!
> [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] (n=(x,y))sei durch
> [mm]f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge0, x\ge y>x+1 \\ -1, & \mbox{für } x\ge 0, x+1\ge y>x+2 \mbox \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Ich hab dein Posting mal etwas korrigiert, so dass die Zeichen direkt nach dem [mm] $\ge$ [/mm] auch auftauchen. Bitte denk demnaechst an das Leerzeichen!
Allerdings: Meinst du das $x [mm] \ge [/mm] y > x+1$ wirklich ernst?! Das ist nie erfuellt, womit die Funktion den Wert 1 nie annimmt! Und ebensowenig $x + 1 [mm] \ge [/mm] y > x + 2$! Soll das etwa immer [mm] $\le$ [/mm] und $<$ anstatt [mm] $\ge$ [/mm] und $>$ sein?!
> definiert. zeigen Sie: [mm]\integral\integral {f(x,y) \lambda(dy)\lambda(dx)}= \integral\integral {f(x,y) \lambda(dx)\lambda(dy)}[/mm],
> wobei [mm]\lambda=[/mm] Lebesque-Maß.
>
> Warum widerspricht das Ergebnis nicht dem Satz von fubini?
Du sollst vielleicht eher zeigen, dass [mm] $\neq$ [/mm] gilt und nicht $=$? Ansonsten macht diese Zusatzfrage mit dem Satz von Fubini ja ueberhaupt keinen Sinn, da er gerade Gleichheit liefert (unter bestimmten Voraussetzungen).
Zum Integral: Dir ist klar, dass wenn $g : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] Lebesgue- und Riemann-Integrierbar ist, das Riemann-Integral mit dem Lebesgue-Integral uebereinstimmen? Sprich, dass du es dann ganz normal ausrechnen kannst?
Ich fang mal ein wenig mit der Aufgabe an:
Fuer [mm] $\int\int [/mm] f(x, y) [mm] \lambda(dy) \lambda(dx)$ [/mm] musst du erstmal schauen, fuer welche Wahlen von $x$ und $y$ die Funktion $f(x, y)$ gleich 1 bzw. -1 ist (und zwar wenn man $x$ festhaelt). Also $x$ muss [mm] $\ge [/mm] 0$ sein, ansonsten geht gar nichts. Also ist schonmal [mm] $\int\int [/mm] f(x, y) [mm] \lambda(dy) \lambda(dx) [/mm] = [mm] \int_0^\infty \int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] dx$. Fuer ein $x [mm] \ge [/mm] 0$ ist $f(x, y) = 1$, wenn $y [mm] \in \left[x, x+1\right[$ [/mm] ist, und $f(x, y) = -1$, wenn $y [mm] \in \left[x+1, x+2\right[$ [/mm] ist. Also ist [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dy = [mm] \int_x^{x+1} [/mm] 1 [mm] \; [/mm] dy + [mm] \int_{x+1}^{x+2} [/mm] -1 [mm] \; [/mm] dy = 0$. Und damit ist dann [mm] $\int\int [/mm] f(x, y) [mm] \lambda(dy) \lambda(dx) [/mm] = [mm] \int_0^\infty \int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_0^\infty [/mm] 0 [mm] \; [/mm] dx = 0$. Ok soweit? Jetzt versuch die andere Seite mal von Hand.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 28.05.2006 | | Autor: | wee |
Da muss ich mich doch erstmal für das Aufschreiben entschuldigen!
Es muss alles so gelten, wie du es verbessert hast.
Das eine Integral ist jetzt klar, nun zum anderen:
[mm] \integral\integral{f(x,y)\lambda(dx)\lambda(dy)}= \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y)\lambda(dx)\lambda(dy)}
[/mm]
Jetzt halte ich ein y fest und betrachte [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x,y) \lambda(dx)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x,y) \lambda(dx)}= \integral_{y}^{y+1}{1 dx}+ \integral_{y+1}^{y+2}{-1 dx}+0, [/mm] oder?
jetzt würde ich aber so weiter rechnen wie du beim anderen Integral und hätte dann Gleichheit, was hab´ich also falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Da muss ich mich doch erstmal für das Aufschreiben
> entschuldigen!
> Es muss alles so gelten, wie du es verbessert hast.
>
> Das eine Integral ist jetzt klar, nun zum anderen:
>
> [mm]\integral\integral{f(x,y)\lambda(dx)\lambda(dy)}= \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y)\lambda(dx)\lambda(dy)}[/mm]
>
> Jetzt halte ich ein y fest und betrachte
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) \lambda(dx)}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) \lambda(dx)}= \integral_{y}^{y+1}{1 dx}+ \integral_{y+1}^{y+2}{-1 dx}+0,[/mm]
> oder?
Fast 
Hier wird es etwas interessanter: Es gilt ja genau dann $x [mm] \le [/mm] y < x + 1$, wenn $x [mm] \in \left]y - 1, y\right]$ [/mm] ist. Aber gleichzeitig muss $x [mm] \ge [/mm] 0$ sein, womit du eine Fallunterscheidung ($y [mm] \ge [/mm] 1$, $y < 0$, $0 [mm] \le [/mm] y < 1$) machen musst.
Bei $x + 1 [mm] \le [/mm] y < x + 2$ hast du $x [mm] \in \left] y - 2, y - 1 \right]$, [/mm] womit du eine Fallunterscheidung $y [mm] \ge [/mm] 2$, $y < 1$ und $1 [mm] \le [/mm] y < 2$ machen musst. Du unterteilst also das auessere Integral [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] ... [mm] \; [/mm] dy$ in vier Integrale [mm] $\int_{-\infty}^0 [/mm] ... [mm] \;dy [/mm] + [mm] \int_0^1 [/mm] ... [mm] \;dy [/mm] + [mm] \int_1^2 [/mm] ... [mm] \;dy [/mm] + [mm] \int_2^\infty [/mm] ... [mm] \;dy$. [/mm] Und in jedem Integral musst du jeweils die passenden Faelle fuer das Integral ueber $x$ einsetzen.
Wahrscheinlich hebt sich hier passend was weg, so dass schliesslich was [mm] $\neq [/mm] 0$ uebrigbleibt.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:58 So 28.05.2006 | | Autor: | wee |
bis jetzt schon mal danke Felixf,
ist dann also [mm] \integral_{-\infty}^{0}{... dy}=0
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{ ... dy}=1
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{2}{... dy}=-1
[/mm]
und [mm] \integral_{2}^{\infty}{... dy}=0, [/mm]
das kann aber doch nicht sein :(, was hab´ich jetzt wieder nicht beachtet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo wee,
> bis jetzt schon mal danke Felixf,
>
> ist dann also [mm]\integral_{-\infty}^{0}{... dy}=0[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ ... dy}=1[/mm]
> [mm]\integral_{1}^{2}{... dy}=-1[/mm]
>
> und [mm]\integral_{2}^{\infty}{... dy}=0,[/mm]
Schreib doch mal die Zwischenschritte mit auf!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 28.05.2006 | | Autor: | wee |
Hallo Felixf, hier zeige ich dir meine Überlegungen:
[mm] y\le0 [/mm] => [mm] f(x,y)\equiv0 [/mm] => [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}=0 [/mm] => [mm] \integral_{-\infty}^{0}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy=0
[/mm]
[mm] y\in [/mm] [0,1) => f(x,y)=1 für x [mm] \in [/mm] [y-1,y) und Null sonst => [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}= \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx}=1 [/mm] => [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy=1
[/mm]
[mm] y\in [/mm] [1,2) => f(x,y)= -1 für [mm] x\in [/mm] [y-2,y-1) und Null sonst => [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}= \integral_{1}^{2}{f(x,y) dx}=-1 [/mm] => [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy=-1
[/mm]
[mm] y\in [2,\infty) [/mm] => [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy= \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{y}^{y+1}{1 dx}+\integral_{y+1}^{y+2}{-1 dx}dy=0, [/mm] wie im ersten Integral.
Weißt du, wo mein Fehler liegt? Und kannst du bitte weiter helfen???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo wee!
> [mm]y\le0[/mm] => [mm]f(x,y)\equiv0[/mm] => [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}=0[/mm]
> => [mm]\integral_{-\infty}^{0}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy=0[/mm]
Das ist richtig.
> [mm]y\in[/mm] [0,1) => f(x,y)=1 für x [mm]\in[/mm] [y-1,y) und Null sonst =>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}= \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx}=1[/mm]
> => [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy=1[/mm]
Das stimmt so nicht, es ist [mm] $\int_0^1 [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_0^y [/mm] 1 [mm] \; [/mm] dx = y$! Schliesslich ist $f(x, y) = 1$ nur fuer $x [mm] \in [/mm] [y-1, y]$ und $x [mm] \ge [/mm] 0$.
> [mm]y\in[/mm] [1,2) => f(x,y)= -1 für [mm]x\in[/mm] [y-2,y-1) und Null sonst
> => [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}= \integral_{1}^{2}{f(x,y) dx}=-1[/mm]
> => [mm]\integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy=-1[/mm]
Das ist falsch: Es ist [mm] $\int_0^\infty [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_0^{y-1} [/mm] -1 [mm] \; [/mm] dx = 1-y$, da $x$ ja in $[y-2, y-1) [mm] \cap [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] = [0, y-1)$ ungleich 0 ist!
> [mm]y\in [2,\infty)[/mm] =>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy= \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{y}^{y+1}{1 dx}+\integral_{y+1}^{y+2}{-1 dx}dy=0,[/mm]
> wie im ersten Integral.
Die Grenzen stimmen wieder nicht! (Wobei das hier egal ist, da der Intgrand nicht von $x$ abhaengt.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 28.05.2006 | | Autor: | wee |
wenn ich´s recht verfolgt habe ist das Integral also jetzt -1?
ok, dann bedanke ich mich ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wenn ich´s recht verfolgt habe ist das Integral also jetzt
> -1?
Ich denke es ist $1$: Es ist [mm] $\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] dy = [mm] \int_{-\infty}^0 [/mm] 0 [mm] \; [/mm] dy + [mm] \int_0^1 [/mm] y [mm] \; [/mm] dy + [mm] \int_1^2 [/mm] 2 - y [mm] \; [/mm] dy + [mm] \int_2^\infty [/mm] 0 [mm] \; [/mm] dy = 0 + [mm] \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{y=0}^1 [/mm] + [mm] \left[ 2 y - \frac{1}{2} y^2 \right]_{y=1}^2 [/mm] + 0 = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + 2 [mm] \cdot [/mm] 2 - [mm] \frac{1}{2} \cdot 2^2 [/mm] - 2 [mm] \cdot [/mm] 1 + [mm] \frac{1}{2} \cdot 1^2 [/mm] = 1$.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo wee!
> > [mm]y\in[/mm] [1,2) => f(x,y)= -1 für [mm]x\in[/mm] [y-2,y-1) und Null sonst
> > => [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}= \integral_{1}^{2}{f(x,y) dx}=-1[/mm]
> > => [mm]\integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dx}dy=-1[/mm]
>
> Das ist falsch: Es ist [mm]\int_0^\infty f(x, y) \; dx = \int_0^{y-1} -1 \; dx = 1-y[/mm],
> da [mm]x[/mm] ja in [mm][y-2, y-1) \cap [0, \infty) = [0, y-1)[/mm] ungleich
> 0 ist!
Ich seh grad, dass stimmt nicht ganz: der $f(x, y) = 1$-Teil fehlt! Es ist $f(x, y) = 1$ fuer $x [mm] \in [/mm] [y-1, y)$. Damit ist [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_0^\infty [/mm] f(x, y) [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_0^{y-1} [/mm] -1 [mm] \; [/mm] dx + [mm] \int_{y-1}^y [/mm] 1 [mm] \; [/mm] dx = 2 - y$.
LG Felix
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