Freier Vektorraum - Tensor < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 01.10.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Alle!
Ich brüte gerade über der Herleitung des Tensorproduktes, und versteh leider NUR Bahnhof!
Kann mir das jemand von euch irgendwie einigermaßen verständlich erklären, was die folgenden Defintionen bedeuten? Wäre sehr nett, da ich wirklich nicht weiterkomme.
Also:
1. Sei $I$ eine Menge. Dann ist die Menge der Familien in $K$ über $I$,
[mm] $K^I [/mm] = [mm] \left\{(a_i)_{i\in I}\ |\ a_i \in K\right\}$
[/mm]
ein $K$-Vektorraum.
Aha, von mir aus ist es ein Vektorraum, nur leider kann ich mit der Definition rein garnichts anfangen. Sind das jetzt einfach alle Mengen die mind. ein [mm] $a_i$ [/mm] enthalten, so ähnlich wie die Potenzmenge???
2. Für $I = [mm] \left\{1,...,n\right\} [/mm] = [mm] \underline{n}$ [/mm] erhalten wir wieder den Vektorraum [mm] $K^{\underline{n}} [/mm] = [mm] K^n$.
[/mm]
Häh? Wie geht das denn??? Ich hab doch nur Elemente aus $K$???
3. Sei $I$ eine Menge. Dann ist die Menge
$ [mm] K^{(I)} [/mm] = [mm] \left\{ (a_i)_{i\in I} \in K^I\ |\ a_i = 0 \mathrm{\ f"ur\ fast\ alle\ } i \in I\right\} [/mm] $
ein Untervektorraum von [mm] $K^I$ [/mm] und heißt der freie Vektorraum über $I$.
So, jetzt sind die meisten [mm] $a_i$ [/mm] Null, was bringt mir das???
4. Ist $I$ eine endliche Menge, so gilt offenbar [mm] $K^{(I)} [/mm] = [mm] K^I$, [/mm] insbesondere gilt für $n [mm] \in \mathbb{N}$: $K^{(\underline{n})} [/mm] = [mm] K^{\underline{n}} [/mm] = [mm] K^n$.
[/mm]
Im Prinzip das gleiche Problem wie bei 2.
Das sind zwar jetzt 4 Fragen in einer, aber sie aufzuteilen, wär meiner Meinung nach umständlich, da ja alle zusammenhängen.
Ich hoffe mir kann jemand helfen!
Grüße
Cruemel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 01.10.2006 | | Autor: | bluehawk |
Hallo,
eine Familie ist identisch mit einer Funktion [mm]f:I \to K [/mm] wobei grob gesagt gilt
[mm] f(i) [/mm] formal gleich mit [mm] a_i [/mm]
[mm] f:I \to K [/mm] formal gleich mit [mm] (a_i)_{i \in I} [/mm]
Es ist also die Menge aller Funktionen von I nach K (zumindest ist das meine Interpretation ;).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 01.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> 1. Sei $ I $ eine Menge. Dann ist die Menge der Familien in $ K $ über $ I $,
$ [mm] K^I [/mm] = [mm] \left\{(a_i)_{i\in I}\ |\ a_i \in K\right\} [/mm] $
ein $ K $-Vektorraum.
> Aha, von mir aus ist es ein Vektorraum, nur leider kann ich mit der Definition rein garnichts anfangen. Sind das jetzt einfach alle Mengen die mind. ein $ [mm] a_i [/mm] $ enthalten, so ähnlich wie die Potenzmenge???
Wie bereits gesagt wurde, entspricht [mm] $K^I$ [/mm] der Menge der Abbildungen von $I$ in $K$. Ist [mm] $a:I\to [/mm] F$ eine solche Abbildung, so schreibt man dafür auch gerne [mm] $(a_i)_{i\in I}$, [/mm] wobei [mm] $a_i:=a(i)$. [/mm] Warum dies sinnvoll ist, das werden wir gleich einsehen.
Nach dem Bisherigen ist [mm] $K^I$ [/mm] nichts weiter als eine Menge und sie trägt noch keine algebraischen Strukturen. Sind nun [mm] $a,b\in K^I$, [/mm] also [mm] $a,b:I\to [/mm] K$, so definieren wir die formale Summe $a+b$ als Funktion von $I$ in $K$ mit $(a+b)(i) = a(i)+b(i)$. Bedenke hierbei: der Gebrauch von $+$ in der Definition ist legitim, denn $a(i),b(i), [mm] i\in [/mm] I$ sind Elemente des Grundkörpers $K$, und auf diesem ist die Operation $+$ definiert. Wenn wir nun $a,b$ wie oben angedeutet als [mm] $(a_i)_{i\in I}, (b_i)_{i\in I}$ [/mm] mit [mm] $a_i:=a(i), b_i:=b(i)$ [/mm] schreiben, dann liest sich die Addition auf [mm] $K^I$ [/mm] leicht über [mm] $(a+b)_i [/mm] = [mm] a_i [/mm] + [mm] b_i$, [/mm] da ja per Definition [mm] $(a+b)_i [/mm] := (a+b)(i) := a(i) + b(i) =: [mm] a_i [/mm] + [mm] b_i$. [/mm] Damit haben wir also sinnvoll eine Addition auf [mm] $K^I$ [/mm] erklärt. Im Folgenden werde ich Elemente aus [mm] $K^I$ [/mm] nur noch in der Form [mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] angeben. Du solltest aber nicht vergessen, dass dies nur eine Kurzschreibweise zur vollständigen Angabe einer Funktion von $I$ in $K$ ist.
Bisher ist [mm] $K^I$ [/mm] vermöge der eben definierten Addition $+$ lediglich eine abelsche Gruppe. Was wir nun noch brauchen ist eine Multiplikation mit Skalaren, d.h. eine Abbildung [mm] $\cdot: K\times K^I [/mm] -> [mm] K^I$, [/mm] sodass für alle [mm] $a,b\in K^I$ [/mm] und [mm] $\lambda\in [/mm] K$ stets [mm] $k\cdot (a+b)=k\cdot a+k\cdot [/mm] b$ gilt. Für ein [mm] $(a_i)_{i\in I}\in K^I$ [/mm] und [mm] $\lambda\in [/mm] K$ definieren wir dazu, - motiviert von der Streckung von Vektoren in der Ebene oder im Raum - [mm] $\lambda\cdot (a_i)_{i\in I} [/mm] := [mm] (\lambda a_i)_{i\in I}$. [/mm] Die Funktionswerte - gern auch Komponenten genannt - von [mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] werden also allesamt mit [mm] $\lambda$ [/mm] multipliziert. Bedenke auch hierbei, dass dies Sinn macht, denn auf $K$ ist nach Definition auch eine Multiplikation definiert, die wir hier verwenden.
Zu zeigen, dass das oben genannte Distributivgesetz [mm] $\lambda (a+b)=\lambda a+\lambda [/mm] b$ gilt, überlasse ich dir.
Die übrigen Vektorraumaxiome kannst du nun gut nachweisen, wenn du dir die Axiome eines Körpers ansiehst. Z.B. muss streng genommen erst einmal nachgewiesen werden, dass [mm] $K^I$ [/mm] mit $+$ tatsächlich eine abelsche Gruppe ist. Du musst also nachweisen, dass es ein Element [mm] $e\in K^I$ [/mm] gibt, sodass $a+e=a$ für alle [mm] $a\in K^I$ [/mm] vermöge der oben definierten Verknüpfung $+$. Dieses Element nennt man dann $0$ - bedenke, dass es nicht dem Nullelement in $K$ entspricht - zu Verwechslungen sollte es aber nicht kommen. Ebenfalls muss für ein [mm] $a\in K^I$ [/mm] die Existenz eines Elementes [mm] $b\in K^I$ [/mm] mit $a+b=e$ nachgewiesen werden. Dieses Element nennt man dann $-a$. Ferner müssen auch Assoziativität und Kommutativität von $+$ auf [mm] $K^I$ [/mm] nachgewiesen werden. Dies geht alles gut, indem man [mm] $+:K^I\times K^i\to K^I$ [/mm] auf die Addition [mm] $+:K\times K\to [/mm] K$ auf dem Körper $K$ zurückführt.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 01.10.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo!
Vielen Dank für die ausführliche Antwort, Punkt 1 ist nun schon etwas klarer, aber 2, 3 und 4? Wie kommt man auf [mm] $K^{\underline{n}} [/mm] = [mm] K^n$? [/mm] Nach dieser Definition sind das dann die Abbidungen von $n [mm] \to [/mm] K$ (Macht für mich jetzt keinen Sinn)? Vielleicht kann mir dazu auch jemand helfen?
Grüße
Cruemel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 01.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Cruemel,
> Nach dieser Definition sind das dann die Abbidungen von $n [mm] \to [/mm] K$ (Macht für mich jetzt keinen Sinn)?
Das stimmt so auch nicht ganz: es sind Abbildungen von [mm] \underline{n}\to [/mm] K, d.h. (nach der Definition von [mm] \underline{n}) [/mm] von [mm] \{1,...,n\}\to [/mm] K.
Nochmal zu den einzelnen offenen Punkten:
zu 2.): Die "Indexmenge" I ist jetz also [mm] \{1,...,n\}. [/mm] D.h. ein Element aus [mm] K^I [/mm] ist ein [mm] (a_i)_{i=1...n}. [/mm] Man könnte das auch etwas anders aufschreiben, nämlich als [mm] (a_1,a_2,....,a_n) [/mm] (oder wenn man will auch untereinander), wobei die [mm] a_i\in [/mm] K liegen. Ich denke, jetzt erkennst Du auch den [mm] K^n [/mm] wieder, oder?
zu 3.): Was das genau bringt kann ich jetzt auch nicht sagen, aber ich nehme mal an, dass man einige unangenehme Eigenschaften unendlichdimensionaler Vektorräume umgehen kann indem man nur endlich viele Komponenten [mm] \not= [/mm] 0 zulässt.
zu 4.): dass [mm] K^{(I)} [/mm] = [mm] K^I [/mm] für eine endliche Indexmenge gilt sollte ja klar sein: [mm] a_i [/mm] = 0 muss für alle bis auf endlich viele i gelten, d.h. im endlichen Fall könnten auch alle [mm] a_i\not= [/mm] 0 sein. Und der Rest ist ja wieder 2.).
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 So 01.10.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo piet.t!
Vielen Dank für die Antwort, bin jetzt richtig verblüfft, dass es eigentlich garnicht so kompliziert ist! 
Grüße
Cruemel
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Hallo und guten Morgen,
ich darf noch etwas zu [mm] K^I [/mm] und [mm] K^{(I)} [/mm] nachtragen:
Du fragtest in (3) nach dem essentiellen Unterschied dieser beiden Räume.
Nun, betrachte zB [mm] I=\IN. [/mm] Dann ist eine Basis von [mm] K^{(I)} [/mm] gegeben durch die ''Standard-Einheitsvektoren''
[mm] e_i\in K^{\IN},\:\: i\in\IN, [/mm]
wobei [mm] e_i(n):=\begin{cases} 1, & i=n\\ 0 & sonst \end{cases}
[/mm]
Dies ist für [mm] K^I [/mm] aber keine Basis: zB der Vektor E definiert durch
E(n)=1 für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
kann nicht als endliche (!) Linearkombination der [mm] e_i [/mm] dargestellt werden.
Der [mm] K^{\IN} [/mm] hat viel kompliziertere Basen, insbesondere ist seine Dimension überabzählbar unendlich.
Denn betrachte zB den Fall [mm] K=\{0,1\} [/mm] (Körper mit 2 Elementen). Nimm an, [mm] K^{\IN} [/mm] hätte eine abzählbare Basis.
Dann wáre auch die Menge der endlichen Linearkombinationen von Basisvektoren abzählbar, während aber [mm] K^{\In}
[/mm]
selbst überabzählbar ist.
Gruss,
Mathias
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