Fredholmsche alternative < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 18.06.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
Ich habe folgende Frage: Ich kenne folgenden Satz: (Fredholmsche alternative)
Wenn [mm] $K:H\to [/mm] H$ ein kompakter Operator auf einem Hilbertraum $H$ ist, dann
1. $N(I-K)$ is endlich dimensional ($N=$ "Nullspace", alle Elemente in $H$ für die $I-K=0$ gilt. $I$ ist die Identitätsabbildung
2. $R(I-K)$ is abgeschlossen, wobei $R=$ Bildmenge ist.
3. [mm] $R(I-K)=N(I-K^\*)^\perp$ [/mm] wobei [mm] $K^\*$ [/mm] der adjungierte Operator ist.
4. $N(I-K) = [mm] \{0\}$ [/mm] genau dann wenn $R(I-K)=H$
5.$dim N(I-K)= dim [mm] N(I-K^\*)$
[/mm]
Wieso folgt nun aus diesem Satz, folgendes:
Entweder gilt für jedes [mm] $f\in [/mm] H$, dass die Gleichung $u-Ku=f$ eine eindeutige Lösung hat, oder die Gleichung $u-Ku=0$ hat verschiedene Lösungen, welche nicht trivial sind.
Gruss
physicus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Fall 1: R(I-K)=H.
Es ist also I-K surjektiv. Für jedes f [mm] \in [/mm] H ex. also ein u [mm] \in [/mm] H mit u-Ku=f.
Wegen 4. ist I-K injektiv. Also ex. zu jedem f [mm] \in [/mm] H genau ein u [mm] \in [/mm] H mit u-Ku=f.
Fall 2: R(I-K) [mm] \ne [/mm] H. nach 4. ist $ N(I-K) [mm] \ne \{0\} [/mm] $, also gibt es ein u [mm] \in [/mm] N(I-K) mit u [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
|
|
|
|
