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Hallo,
ich habe die Aufgabe das Gleichungssystem zu lösen und davon die Determinante noch zu bestimmen.
Gemäß der mir vorliegenden Lösung passt alles bis auf die Determinante diese ist bei mir 2000 anstatt 250. Laut meinem Verständnis aber dürfte die Determinante nicht abweichen.
Da meine Variabeln aber mit der Lösung übereinstimmen hab ich auf meiner Stirn ein großes Fragezeichen....
2x-y+z-3w=5
x+y+2z-w=3
4x+2y-4z+w=10
-x-3y+6z+3w=-19
meine Endmatrix sieht folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 & -3 & 5\\ 0 & -2 & 8 & 2 & -16 \\0 & 0 & 10 & 11 & -32\\0 & 0 & 0 & -50 & 100}
[/mm]
x=1
y=2
z=-1
w=-2
Ich habe keine Ahnung wie hier 250 rauskommen soll, ich kann nicht einerseits richtige Werte für die Variabeln herausbekommen und anderseits eine falsche Determinante....
Bitte um Aufklärung :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gemäß der mir vorliegenden Lösung passt alles bis auf die
> Determinante diese ist bei mir 2000 anstatt 250.
Die Determinante des Ausgangssystems ist -250.
> Laut
> meinem Verständnis aber dürfte die Determinante nicht
> abweichen.
Doch, Du hast sicher wahrscheinlich Zeilen multipliziert, und dabei "multipliziert sich" dann auch die Determinante.
Guck
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] Det:-2
[mm] \pmat{ 3 & 6 \\ 3 & 4 } [/mm] (3*1.Zeile) Det:-6
[mm] \pmat{ 3 & 6 \\ 0 & 2 } [/mm] (-1*2.Zeile + 1.Zeile) Det=6
Hingegen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] Det=-2
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & -2 } [/mm] (2.Zeile + (-3)*1.Zeile) Det=-2
Gruß v. Angela
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hm, wie stelle ich dann effektiv sicher das ich die "kleinste Determinante" habe?
Darf ich nur mit Brüchen multiplizieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 06.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> hm, wie stelle ich dann effektiv sicher das ich die
> "kleinste Determinante" habe?
Dadurch, dass du die Rechenregeln für die Determinante verwendest! Siehe mal auf der Seite
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29#Eigenschaften
Dort findest Du die Regeln, welche Du verwenden darfst unter "Eigenschaften".
(1): Multiplizierst Du eine Zeile einer Matrix [mm] $A\in\IR^{n\times n}$ [/mm] mit einer Skalaren Zahl $a$, so kommt der Faktor [mm] $(a^{-1})^n$ [/mm] vor die Determinante, wobei [mm] $a^{-1}$ [/mm] das multiplikative Inverse von $a$ ist (siehe Multiplikation mit Skalaren)
(2): Beim Addieren und Subtrahieren zweier Zeilen verändert sich der Wert der Determinanten nicht.
Das reicht schon in den meisten Fällen aus um die Determinante zu bestimmen.
Gruß Denny
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Jetzt noch eine kleine Rückfrage, mir ist jetzt einiges klarer ich habe ich Grunde die Determinante um den Faktor 4 vergrößert.
Doch ist es ja im Grunde soweit ich das verstehe zulässig, gemeinsame Faktoren bei Zeilen bzw. Spalten herauszuziehen oder?
Wenn ich das auf meine gewonne Matrix anwende:
[mm] \pmat{ -2 & 8 & 2 \\ 0 & 10 & 11 \\ 0 & 0 & -50 & }
[/mm]
d.h. die erste Zeile durch 2 teile und im Anschluss die zweite Spalte auch durch 2 teile komme ich auf
Jetzt noch eine kleine Rückfrage, mir ist jetzt einiges klarer ich habe ich Grunde die Determinante um den Faktor 4 vergrößert.
Doch ist es ja im Grunde soweit ich das verstehe zulässig, gemeinsame Faktoren bei Zeilen bzw. Spalten herauszuziehen oder?
Wenn ich das auf meine gewonne Matrix anwende:
[mm] \pmat{ -2 & 8 & 2 \\ 0 & 10 & 11 \\0 & 0 & -50 & }
[/mm]
erhalte ich
Jetzt noch eine kleine Rückfrage, mir ist jetzt einiges klarer ich habe ich Grunde die Determinante um den Faktor 4 vergrößert.
Doch ist es ja im Grunde soweit ich das verstehe zulässig, gemeinsame Faktoren bei Zeilen bzw. Spalten herauszuziehen oder?
Wenn ich das auf meine gewonne Matrix anwende:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 11 \\0 & 0 & -50 }
[/mm]
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> Jetzt noch eine kleine Rückfrage, mir ist jetzt einiges
> klarer ich habe ich Grunde die Determinante um den Faktor 4
> vergrößert.
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> Doch ist es ja im Grunde soweit ich das verstehe zulässig,
> gemeinsame Faktoren bei Zeilen bzw. Spalten herauszuziehen
> oder?
>
> Wenn ich das auf meine gewonne Matrix anwende:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 8 & 2 \\ 0 & 10 & 11 \\ 0 & 0 & -50 & }[/mm]
>
> d.h. die erste Zeile durch 2 teile und im Anschluss die
> zweite Spalte auch durch 2 teile komme ich auf
>
> Jetzt noch eine kleine Rückfrage, mir ist jetzt einiges
> klarer ich habe ich Grunde die Determinante um den Faktor 4
> vergrößert.
>
> Doch ist es ja im Grunde soweit ich das verstehe zulässig,
> gemeinsame Faktoren bei Zeilen bzw. Spalten herauszuziehen
> oder?
>
> Wenn ich das auf meine gewonne Matrix anwende:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 8 & 2 \\ 0 & 10 & 11 \\0 & 0 & -50 & }[/mm]
>
> erhalte ich
>
> Jetzt noch eine kleine Rückfrage, mir ist jetzt einiges
> klarer ich habe ich Grunde die Determinante um den Faktor 4
> vergrößert.
>
> Doch ist es ja im Grunde soweit ich das verstehe zulässig,
> gemeinsame Faktoren bei Zeilen bzw. Spalten herauszuziehen
> oder?
>
> Wenn ich das auf meine gewonne Matrix anwende:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 11 \\0 & 0 & -50 }[/mm]
>
Hallo,
irgendwie hast Du 'nen Sprung in der Platte...
Ich weiß nicht, was Du mit "zulässig" meinst. Zulässig wofür?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
wenn Du die erste zeile durch 2 teilst musst du den Faktor
[mm] $(2^{-1})^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3$
[/mm]
vor deine Determinante schreiben. Gerade das Inverse von 2 und hoch die Dimension deiner Matrix.
> Doch ist es ja im Grunde soweit ich das verstehe zulässig,
> gemeinsame Faktoren bei Zeilen bzw. Spalten herauszuziehen
> oder?
Ja, aber auch "ungemeinsame". Du kannst aus der ersten Zeile auch $3$ rausziehen, bekommst dann aber hässliche Brüche, was für mich persönlich nicht so toll ist. Daher multipliziere ich eher Terme hinein und schreibe das multiplikative Inverse davon hoch die Dimension meiner Matrix vor die Determinante.
Wenn Du solche Aufgaben rechnest, dann hattet ihr mit Sicherheit solche Regeln kennengelernt. Musst mal in deinen Unterlagen nachschlagen.
Gruß Denny
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