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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 So 29.05.2005 | | Autor: | arawnhel |
Hallo!
Ich habe einige Fragen zu Aufgabenstellungen der Vektorrechnung, die ich mir mittels stundenlangem googlen, durchforsten von matheraum.de und Büchern leider nicht beantworten kann.
1) Schnittwinkel zweier Vektoren
Was ich glaube darüber zu wissen:
Der Cosinus des Winkels zweier sich schneidender Vektoren ist gleich dem Skalarprodukt der beiden Vektoren geteilt durch das Produkt der Beträge der beiden Vektoren
cos [mm] \alpha(\vec{a},\vec{b}) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}
[/mm]
Nun habe ich eine Aufgabe in der ich die Schnittwinkel der Geraden
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-6\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{1\\2\\1}
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3\\1\\1} [/mm] + [mm] s*\vektor{-1\\1\\-2}
[/mm]
berechnen soll. Die Lösung ist mit [mm] \approx [/mm] 88,4° vorgegeben.
Mein Ansatz ist folgender:
Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren:
[mm] \vec{a}\circ\vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{ 1\\2\\1}\circ\vektor{-1\\1\\-2} [/mm] = -1 + 2 -2 = -1
Produkt der beiden Beträge:
[mm] |\vec{a}| [/mm] * [mm] |\vec{b}| [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2}+2^{2}+1^{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{-1^{2}+2^{2}-2^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{6}*\wurzel{6} [/mm] = 6
cos [mm] \alpha(\vec{a},\vec{b}) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{6}
[/mm]
Wenn ich davon den invertierten Cosinus bild bekomme ich [mm] \approx [/mm] 99,6 heraus. Was mache ich falsch?
2) Ich komme nicht darauf wie ich die folgende Problemstellung angehe:
- "Welcher Punkt der xz-Ebene mit der z-Koordinate 3 hat von den Punkten O(0|0|0) und A(-2|-2|-2) den gleichen Abstand?"
(Hört sich einfach an, aber mir fällt dazu nicht viel ein)
3) Hier bin ich absolut unsicher:
- "Gegeben sind die Punkte A(-2|-2|3) und B(1|-4|5) sowie die Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5\\-2\\1} [/mm] + [mm] t*\vektor{0\\1\\1}
[/mm]
Es ist zu zeigen, dass für alle Punkte P auf g das Dreieck ABP rechtwinklig ist."
Meine Idee:
Aus A und B eine Parametergleichung bilden und P in Abhängigkeit von t darstellen: P(5|t-2|1+t), dann jeweils das Skalarprodukt von AB, AP, BP berechnen und gucken ob irgendwo 0 rauskommt. Ist das der richtige Ansatz? Gibt es vielleicht noch einen besseren?
Danke erstmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 So 29.05.2005 | | Autor: | DarkSea |
zu 1)
da scheint die vorgegebene Lösung falsch zu sein...
zu 3)
hört sich eigentlich ganz gut an, probiers doch einfach mal aus. Dürfte auch nicht zuviel Arbeit sein
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Hallo!
> Ich habe einige Fragen zu Aufgabenstellungen der
> Vektorrechnung, die ich mir mittels stundenlangem googlen,
> durchforsten von matheraum.de und Büchern leider nicht
> beantworten kann.
>
> 1) Schnittwinkel zweier Vektoren
> Was ich glaube darüber zu wissen:
>
> Der Cosinus des Winkels zweier sich schneidender Vektoren
> ist gleich dem Skalarprodukt der beiden Vektoren geteilt
> durch das Produkt der Beträge der beiden Vektoren
>
> cos [mm]\alpha(\vec{a},\vec{b})[/mm] =
> [mm]\bruch{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>
Hier fehlt der Betrag:
[mm] $\cos \alpha (\vec{a},\vec{b}) [/mm] = [mm] \bruch{\left |\vec{a}\circ\vec{b}\right |}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} [/mm] $
Durch den Betrag stellst du sicher, dass du stets den spitzen Schnittwinkel berechnest!
> Nun habe ich eine Aufgabe in der ich die Schnittwinkel der
> Geraden
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\-6\\0}[/mm] + [mm]t*\vektor{1\\2\\1}[/mm]
> h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{3\\1\\1}[/mm] + [mm]s*\vektor{-1\\1\\-2}[/mm]
>
> berechnen soll. Die Lösung ist mit [mm]\approx[/mm] 88,4° vorgegeben.
Muss das nicht vielleicht 80,4° heißen?!
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren:
>
> [mm]\vec{a}\circ\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{ 1\\2\\1}\circ\vektor{-1\\1\\-2}[/mm]
> = -1 + 2 -2 = -1
> Produkt der beiden Beträge:
> [mm]|\vec{a}|[/mm] * [mm]|\vec{b}|[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2}+2^{2}+1^{2}}[/mm] *
> [mm]\wurzel{-1^{2}+2^{2}-2^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{6}*\wurzel{6}[/mm] = 6
[mm] $\cos \alpha(\vec{a},\vec{b}) [/mm] = [mm] \left |\bruch{-1}{6}\right|$
[/mm]
>
> Wenn ich davon den invertierten Cosinus bild bekomme ich
> [mm]\approx[/mm] 99,6 heraus. Was mache ich falsch?
nichts! du hast lediglich den Nebenwinkel von 80,4° berechnet (s.o.).
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Hallo!
> 3) Hier bin ich absolut unsicher:
>
> - "Gegeben sind die Punkte A(-2|-2|3) und B(1|-4|5) sowie
> die Gerade g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{5\\-2\\1}[/mm] +
> [mm]t*\vektor{0\\1\\1}[/mm]
> Es ist zu zeigen, dass für alle Punkte P auf g das Dreieck
> ABP rechtwinklig ist."
>
> Meine Idee:
> Aus A und B eine Parametergleichung bilden und P in
> Abhängigkeit von t darstellen: P(5|t-2|1+t), dann jeweils
> das Skalarprodukt von AB, AP, BP berechnen und gucken ob
> irgendwo 0 rauskommt. Ist das der richtige Ansatz? Gibt es
> vielleicht noch einen besseren?
>
würde ich auch so machen.
Überlege dir aber, wo der rechte Winkel liegen kann!
Bei A oder B oder P !!
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Hallo!
>
> 2) Ich komme nicht darauf wie ich die folgende
> Problemstellung angehe:
>
> - "Welcher Punkt der xz-Ebene mit der z-Koordinate 3 hat
> von den Punkten O(0|0|0) und A(-2|-2|-2) den gleichen
> Abstand?"
> (Hört sich einfach an, aber mir fällt dazu nicht viel
> ein)
>
Abstand = Länge der Verbindungsvektoren zwischen den jeweiligen Punkten
Hilft dir das schon weiter?
zur Kontrolle: P(-6|0|3) bitte nachrechnen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Plorel |
Hi
Wir haben Vektoren noch nicht so lange behandelt,
aber ich habe eine Idee, vielleicht kann man es ja so machen:
Früher (8te Klasse ca.) haben wir, um den gleichen Abstand zwischen 2 Punkten herzustellen,
die Punkte verbunden und eine Mittelsenkrechte gebildet. Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten
sind vom Punkt A und B gleich weit entfernt.
Bezogen auf die Aufgabe: Wenn mann den "Mittelsenkrechtenvektor" hat, muss man nur noch
gucken, wo sich dieser mit der Ebene xz schneidet (durch gleichsetzen z.B.)
Ist dieser Lösungsansatz richtig, kann man dieses Prinzip einfach auf Vektoren übertragen?
Wünsch euch noch nen schönen Tag
Plorel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Di 31.05.2005 | | Autor: | Hexe |
Die Idee ist schonmal nicht schlecht, nur dass die Mittelsenkrechte hier eine Ebene ist, die man am besten in der Normalenform aufstellt. In die setzt man dann z=3 ein und schaut was rauskommt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mo 30.05.2005 | | Autor: | arawnhel |
Danke! Habe jetzt alles verstanden.
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