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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 06.01.2008 | | Autor: | Yami |
Hallo leute, also wir nehmen zur zeit Funktionen durch, ich dachte auch ich behersche das thema recht gut doch falsch gedacht, ich bekomme einfach keine aufgabe gelöst in den bereichen (Stetigkeit, Grenzwert, umkehrfunktion, bestimme den definitionsbereich/Wertebereich)
Ich habe schon alles versucht, die ganze woche hänge ich dran und da ich nicht mehr weiter weiß wende ich mich nun an euch. Ich weiß das ist einges an aufgaben. Die skripte verstehe ich auch recht vom theoretischen doch wenn ich mir dann die aufgaben angucke hilft mir die theorie auch nicht weiter.
Ich stelle jetzt einfach mal die aufgaben rein wo ich die größten probleme habe und hoffe das ich mit eurer hilfe die weiteren aufgaben dann lösen kann.
Achso die Lösungen habe ich bereits doch den rechenweg nicht und das ist mein problem ih komme nicht auf die Lösungen.
1. Bestimmen den max. Definitionsbereich und den entsprechenden Wertebereich:
f(x) = [mm] \wurzel{4 - x²} [/mm] + 1
Lösung: Df = [2,2] und Wf = [1,3]
2. wo ist die Funktion stetig?
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{\wurzel{x+1} - 1} , & \mbox{für } 0 < |x| <= 1 \\ x, & \mbox{für } x = 0, |x| > 1 \end{cases}
[/mm]
Auch wäre es nett wenn mir jemand zu der stetigkeit was sagen kann wie ich da vorgehe besonders wenn noch beträge vorkommen bin ich aufgeschmissen.
3. Berechnen sie die Umkehrfunktion von:
f(x) = [mm] \bruch{4x²}{1 + x^4}
[/mm]
Lösung:
f-1(x) = [mm] \wurzel{\bruch{2}{x} - \wurzel{\bruch{4}{x²}-1}}
[/mm]
4. Bestimmen sie den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2 + x} - \wurzel{2 - x}}{x}
[/mm]
Lösung: [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Auch hier ne frage, ich habe bis jetzt immer nur mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gerechnet, doch jetzt tauchen auf einmal sachen auf wie [mm] \limes_{x\rightarrow 0}, \limes_{n\rightarrow 1-} [/mm] auf und sowas wie gehe ich mit diesen sachen um.
So ich weiß das ich euch viel zumute, doch ich würde es nicht schreiben wenn ich nicht mehr weiter wüßte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 So 06.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1. Bestimmen den max. Definitionsbereich und den
> entsprechenden Wertebereich:
>
> f(x) = [mm]\wurzel{4 - x²}[/mm] + 1
Für den Def. Bereich gilt als Bedingung: Der Term unter der Wurze darf nicht negativ sein, also
[mm] 4-x²\ge0
[/mm]
Für den Wertebereich schau mal, welche Werte der Term [mm] \wurzel{4 - x²} [/mm] annehmen kann.
Also berechne die y-Koordinaten der Extrema von [mm] \wurzel{4-x²}, [/mm] und setze diese Werte mal in [mm] f(x)=\red{\wurzel{4 - x²}}+1 [/mm] ein.
>
> Lösung: Df = [2,2] und Wf = [1,3]
>
> 2. wo ist die Funktion stetig?
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{\wurzel{x+1} - 1} , & \mbox{für } 0 < |x| <= 1 \\ x, & \mbox{für } x = 0, |x| > 1 \end{cases}[/mm]
>
> Auch wäre es nett wenn mir jemand zu der stetigkeit was
> sagen kann wie ich da vorgehe besonders wenn noch beträge
> vorkommen bin ich aufgeschmissen.
>
Hier sind die "Schnittstellen" der Intervalle interessant. Also x=0, und die Stellen, an denen gilt |x|=1, also [mm] x=\pm1.
[/mm]
Und dann berechne mal die Grenzwerte von links und rechts an die Stellen.
Sind sie identisch, ist f(x) an der Stelle stetig
> 3. Berechnen sie die Umkehrfunktion von:
>
> f(x) = [mm]\bruch{4x²}{1 + x^4}[/mm]
>
Wenn du die Umkehrfunktion suchst, musst du generell folgendes tun.
1. x und y vertauschen
Also hier:
[mm] f(x)=y=\bruch{4x²}{1 + x^{4}}
[/mm]
[mm] x=\bruch{4y²}{1+y^{4}}
[/mm]
2. Und das ganze musst du jetzt nach y auflösen.
Also:
[mm] x=\bruch{4y²}{1+y^{4}}
[/mm]
[mm] \gdw x(1+y^{4})=4y²
[/mm]
[mm] \gdw x+xy^{4})=4y²
[/mm]
[mm] \gdw xy^{4}-4y²+x=0
[/mm]
[mm] \gdw y^{4}-\bruch{4}{x}y²+1=0
[/mm]
Substituiere mal z=y²
[mm] \Rightarrow z^{2}-\bruch{4}{x}z+1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{1;2}=\bruch{2}{x}\pm\wurzel{\bruch{4}{x²}-1}
[/mm]
Und, da gilt: y²=z, also [mm] y=\wurzel{z}
[/mm]
[mm] y_{1;2}=\pm\wurzel{\bruch{2}{x}\pm\wurzel{\bruch{4}{x²}-1}}
[/mm]
Bleiben also vier mögliche Kandidaten für die Umkehrfunktion, aus denen du jetzt noch die passende aussuchen musst.
> Lösung:
> f-1(x) = [mm]\wurzel{\bruch{2}{x} - \wurzel{\bruch{4}{x²}-1}}[/mm]
>
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 So 06.01.2008 | | Autor: | Yami |
Ja ich werde mir das jetzt mal mit stift und papier angucken, melde mich dann nachher nochmal wie ich damit klar komme, die umkehrfunktion habe ich soweit kapiert, danke für die schnelle antwort und bis gleich 
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:41 So 06.01.2008 | | Autor: | Yami |
Also ich habe mir mal versuch das anzuschauen so wie du mir das erläutert hast, es ist schon etwas klarer ich merke jetzt den bezug zur theorie und parxis, jedoch komme ich mit meinen rechenwegen überhaupt nicht (für beide Aufgaben 1,2) zu dem gewünschten ergebnis.
Mit de Umkehrfunktion habe ich es nun raus, die anderen aufgaben gehen jetzt alle auf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 06.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zu 1.
Zum Def. Bereich:
[mm] \wurzel{4-x²}\ge0
[/mm]
[mm] \gdw 4.x²\ge0
[/mm]
[mm] \gdw 4\ge{x²}
[/mm]
[mm] \gdw 2\ge{x} [/mm] oder [mm] -2\le{x}
[/mm]
Also D: [-2;2]
Wertebereich:
[mm] f(x)=\wurzel{4-x²}+1
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{2x}{2\wurzel{4-x²}}=\bruch{x}{\wurzel{4-x²}}
[/mm]
f'(x)=0
[mm] \gdw [/mm] x=0, also ist x=0 ein Extrema.
Ausserdem sind die stellen [mm] x=\pm2 [/mm] Randextrema.
Wenn du jetzt f(0) und f(2)(=f(-2), wegen Symmetrie) berechnest, bekommst du f(0)=3 und f(2)=1
Also hast du (globale) Extrema bei 3 und 1.
Bleibt noch zu zeigen, dass 3 das globale Maximum und 1 das Minimum von f(x) ist.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Di 08.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yami!
> 4. Bestimmen sie den Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2 + x} - \wurzel{2 - x}}{x}[/mm]
>
> Lösung: [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Hast Du diesen Wert ermittelt? Oder ist diese Lösung vorgegeben?
Um diesen Grenzwert zu erhalten, solltest Du den Bruch mit [mm] $\left( \ \wurzel{2 + x} \ \red{+} \ \wurzel{2 - x} \ \right)$ [/mm] erweitern und zusammenfassen.
> Auch hier ne frage, ich habe bis jetzt immer nur mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gerechnet, doch jetzt tauchen
> auf einmal sachen auf wie [mm]\limes_{x\rightarrow 0}, \limes_{n\rightarrow 1-}[/mm]
> auf und sowas wie gehe ich mit diesen sachen um.
Im Prinzip funktioniert es wie bisher. Man muss halt nur darauf achetn, welche Werte man auch wirklich einsetzen kann / darf.
Die verschiedenen Methoden der Grenzwertermittlung (siehe dieses Beispiel) sind halt auch Übungssache ...
Gruß
Loddar
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