Frage zur komplexen Ableitung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Fr 28.04.2006 | | Autor: | felix024 |
| Aufgabe | | In welchen Punkten ist die Funktion g(x+iy)=2xy+i(x+ [mm] \bruch{2}{3}y^3) [/mm] komplex differenzierbar? |
Hallo,
ich habe bei der obigen Aufgabe einfach die Cauchy-Riemannschen DGL genutzt und bin auf die Punkte -1+i und -1+0*i gekommen. Die anderen im Kurs meinen jetzt aber die Funktion wäre überall komplex differenzierbar, da sie total differenzierbar ist. Aber muss man dann nicht zusätzlich zur totalen Differenzierbarkeit noch zeigen, dass die Ableitung komplex linear ist und benötigt man dafür nicht die Cauchy-Riemannschen DGL.
Eigentlich bin ich mir recht sicher, aber wenn alle anderen ein anderes Ergebnis haben, wird man ja doch etwas unsicher.
Vielen Dank
Felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Fr 28.04.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
ich hab´s nicht nachgerechnet, aber Deine grundsätzliche Aussage ist völlig richtig:
- aus der totalen Diffbarkeit folgt nicht die komplexe Diffbarkeit
- man prüft Cauchy-Riemann
Viele Grüße,
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Felix!
> In welchen Punkten ist die Funktion g(x+iy)=2xy+i(x+
> [mm]\bruch{2}{3}y^3)[/mm] komplex differenzierbar?
Sei $u(x,y) := [mm] \Re [/mm] g(x+iy) = 2 xy$ und $v(x,y) := [mm] \Im [/mm] g(x+iy) = x + [mm] \frac{2}{3} y^3$. [/mm] Damit ist [mm] $u_x [/mm] = 2 y$, [mm] $u_y [/mm] = 2 x$, [mm] $v_x [/mm] = 1$, [mm] $v_y [/mm] = 2 [mm] y^2$.
[/mm]
Die CR-DGln sind [mm] $u_x [/mm] = [mm] v_y$, $u_y [/mm] = [mm] -v_x$. [/mm] Die Zweite ist gerade $2 x = -1$, also $x = [mm] -\frac{1}{2}$. [/mm] Und die Erste ist $2 y = 2 [mm] y^2$, [/mm] also $y = 0 [mm] \vee [/mm] y = 1$.
Also ist der Realteil deiner Ergebnisse
> Cauchy-Riemannschen DGL genutzt und bin auf die Punkte -1+i
> und -1+0*i gekommen. Die anderen im Kurs meinen jetzt aber
falsch!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 02.05.2006 | | Autor: | felix024 |
Hallo
vielen Dank für eure Hinweise. Ich hatte mich in der Tat beim Realteil verrechnet.
Gruß
Felix
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