Frage zur Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Di 12.10.2010 | | Autor: | eldorado |
| Aufgabe | Zeigen sie:
Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, mit endlicher Varianz, so gilt:
Var(XY) [mm] \ge [/mm] Var(X)*Var(Y)
Hinweiß: Zeigen sie Var(XY) - Var(X)*Var(Y) [mm] \ge [/mm] 0 |
Hallo,
ich hab mal so angefangen:
Var(XY) - Var(X)*Var(Y) =
= [mm] E[(XY)^2] [/mm] - [mm] E[XY]^2 [/mm] - [mm] ((E[X^2]-E[X]^2)(E[Y^2]-E[Y]^2))
[/mm]
= [mm] E[(XY)^2] [/mm] - [mm] E[XY]^2 [/mm] - [mm] (E[X^2]*E[Y^2]-E[X^2]*E[Y]^2-E[X]^2*E[Y^2]+E[X]^2*E[Y]^2)
[/mm]
= [mm] E[(XY)^2] [/mm] - [mm] E[XY]^2 [/mm] - [mm] (E[(XY)^2]-E[X^2]*E[Y]^2-E[X]^2*E[Y^2]+E[XY]^2)
[/mm]
[mm] =-2*E[XY]^2+E[X^2]*E[Y]^2+E[X]^2*E[Y^2]
[/mm]
Hier komm ich nicht mehr weiter. Ich seh nicht warum
[mm] E[X^2]*E[Y]^2+E[X]^2*E[Y^2] \ge 2*E[XY]^2
[/mm]
Wäre nett, wenn jemand helfen könnte.
Wenn der ganze Ansatz nichts taugt, gerne auch andere Wege ;)
Vielen Dank,
lg eldorado
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Do 14.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $E(X^2)\geq E(X)^2$ [/mm] und
[mm] $E(Y^2)\geq E(Y)^2$
[/mm]
also
[mm]E[X^2]*E[Y]^2+E[X]^2*E[Y^2] \geq E(X)^2*E(Y)^2+E(X)^2E(Y)^2 = 2*E[XY]^2[/mm]
ciao
Stefan
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