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| Aufgabe | Definition:
Menge G mit 2 stelliger Operation [mm] \* [/mm] : G [mm] \times [/mm] G -> G
heißt Gruppe, falls
(1) [mm] \* [/mm] ist assoziativ: [mm] \forall g_1 [/mm] , [mm] g_2, g_3 [/mm] : [mm] g_1 \times (g_2 \times g_3) [/mm] = [mm] (g_1 \times g_2 [/mm] ) [mm] \times g_3
[/mm]
(2) Neutrales Element
[mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G : e [mm] \times [/mm] g = g [mm] \times [/mm] e = g
(3) inverse Elemente
[mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G [mm] \exists \overline{g} \in [/mm] G : g [mm] \times \overline{g} [/mm] = [mm] \overline{g} \times [/mm] g = e |
Hallo,
das zweite Semester hat angefangen und wir haben nun Analysis als Thema. Und heute war unsere erste Vorlesung.
Ich habe nun eine Frage zu (3)
[mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G [mm] \exists \overline{g} \in [/mm] G : g [mm] \times \overline{g} [/mm] = [mm] \overline{g} \times [/mm] g = e
Wieso kann man hier die Kommutativität voraussetzen ? Also wieso g [mm] \times \overline{g} [/mm] = [mm] \overline{g} \times [/mm] g
Wieso darf man das ? Wir hatten doch nur bei (1) die Assoziativität "definiert", wieso darf man bei 3 die Kommutativität benutzen ?
Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Definition:
> Menge G mit 2 stelliger Operation [mm]\*[/mm] : G [mm]\times[/mm] G -> G
> heißt Gruppe, falls
>
> (1) [mm]\*[/mm] ist assoziativ: [mm]\forall g_1[/mm] , [mm]g_2, g_3[/mm] : [mm]g_1 \times (g_2 \times g_3)[/mm]
> = [mm](g_1 \times g_2[/mm] ) [mm]\times g_3[/mm]
>
> (2) Neutrales Element
> [mm]\exists[/mm] e [mm]\in[/mm] G [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G : e [mm]\times[/mm] g = g [mm]\times[/mm] e
> = g
>
> (3) inverse Elemente
> [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G [mm]\exists \overline{g} \in[/mm] G : g [mm]\times \overline{g}[/mm]
> = [mm]\overline{g} \times[/mm] g = e
>
> Hallo,
> das zweite Semester hat angefangen und wir haben nun
> Analysis als Thema. Und heute war unsere erste Vorlesung.
>
> Ich habe nun eine Frage zu (3)
>
> [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G [mm]\exists \overline{g} \in[/mm] G : g [mm]\times \overline{g}[/mm]
> = [mm]\overline{g} \times[/mm] g = e
>
> Wieso kann man hier die Kommutativität voraussetzen ? Also
> wieso g [mm]\times \overline{g}[/mm] = [mm]\overline{g} \times[/mm] g
>
> Wieso darf man das ? Wir hatten doch nur bei (1) die
> Assoziativität "definiert", wieso darf man bei 3 die
> Kommutativität benutzen ?
>
> Vielen Dank im Voraus.
Ich führe eine weitere Eigenschaft ein:
(4) $ [mm] \forall [/mm] $ g $ [mm] \in [/mm] $ G $ [mm] \exists \overline{g} \in [/mm] $ G : g $ [mm] \times \overline{g}=e [/mm] $ .
Nun versuche mal zu zeigen:
(3) [mm] \gdw [/mm] (4).
Das geht !
FRED
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Hallo, vielen Dank für die Antwort.
Jetzt leuchtet es ein.
Habe noch eine Frage, die mir jetzt aufgefallen ist:
Oben in der Aufgabenstellung steht zweistellige Operation. Was ist damit gemeint ? Dass man zwei "Elemente" für [mm] \* [/mm] benötigt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, vielen Dank für die Antwort.
> Jetzt leuchtet es ein.
>
> Habe noch eine Frage, die mir jetzt aufgefallen ist:
>
> Oben in der Aufgabenstellung steht zweistellige Operation.
> Was ist damit gemeint ? Dass man zwei "Elemente" für [mm]\*[/mm]
> benötigt ?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Di 15.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Definition:
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> Wieso darf man das ? Wir hatten doch nur bei (1) die
> Assoziativität "definiert", wieso darf man bei 3 die
> Kommutativität benutzen ?
>
Es handelt sich eben um eine Definition.
Da wird gar nichts vorausgesetzt oder benutzt, sondern einfach definiert :"Wenn dieses und jenes gilt, dann heißt das Ding so und so." In so eine Definition kann man prinzipiell alles mögliche hineinschreiben, was man will.
Fred hat dir gesagt, dass prinzipiell eine der beiden Forderungen die andere impliziert, das trifft auch auf die Inversenbildung zu. Solche Beweise sind aber üblicherweise etwas für eine Algebra-Vorlesung und werden in einer Analysis-Vorlesung meist übersprungen.
Vorteil : Je mehr ich voraussetze, desto mehr kann ich benutzen.
Nachteil : Ich muss im konkreten Einzelfall mehr nachprüfen um Gruppeneigenschaft zu zeigen.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 15.04.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für eure Antworten.
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