Frage zur Supremumsnorm < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es ist L(x):={f: X [mm] \to \IC [/mm] | f stetig und beschränkt}
Auf dem Raum sei folgende Norm definiert: ||f||:=sup | f(x) | wobei x ein Element der Menge X ist.
Satz: Sei [mm] f_n [/mm] , f [mm] \in [/mm] L(X) mit n natürlich
Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] || [mm] f_n [/mm] - f || = 0
[mm] \gdw f_n [/mm] konvergiert glmg gegen f |
Hi
Ich habe eine Frage zum Beweis des folgenden Satzes.
Beweis:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt: n [mm] \ge n_0 \to |f_n [/mm] - f| [mm] \le sup|f_n [/mm] - f| [mm] \le [/mm] || [mm] f_n [/mm] - f || [mm] \le \varepsilon [/mm]
Kann ich jetzt sowas sagen wie:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt: n [mm] \ge n_0 \to \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \le \varepsilon [/mm]
???
Und wenn ja wie kann ich das "Für alle x in X" "hach draußen ziehen", sodass ich die Definition von der flmg Konvergenz stehen habe. Und wie zeige ich dann, dass [mm] n_0 [/mm] auch wirklich nur von epsilon abhängt und nicht von x???
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
1. ist f [mm] \in [/mm] L(X), so gilt : |f(x)| [mm] \le [/mm] ||f|| für jedes x [mm] \in [/mm] X
2.Wenn Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] n_0 [/mm] mit
|| $ [mm] f_n [/mm] $ - f || $ [mm] \le \varepsilon [/mm] $ für n> [mm] n_0
[/mm]
gefunden hast, so gilt, wegen 1.:
[mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] $ [mm] \le \varepsilon [/mm] $ für jedes n> [mm] n_0 [/mm] und für jedes x [mm] \in [/mm] X
FRED
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Dumme Frage:
Was bedeutet eigentlich das f ohne das f(x) ich mein.
Das ist ja dann nur die Abbildung f an sich und f(x) ist die Abbildung auf x angewendet.
Aber gibt es überhaupt soetwas wie "eine Abbildung" an sich?? Ich mein, man schreibt doch immer z.B. [mm] f(x)=x^2. [/mm]
Was schreibt man dann bei f? f=?^2 ???
Und warum sagst du in der ersten Zeile |f(x)|<|| f || ?
Wenn du |f(x)|<|| f(x) || = sup|f(x)| schreiben würdest wäre das okay. Aber so?!?!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei f [mm] \in [/mm] L(X).
Dann ist f eine Abbildung vonX nach [mm] \IC. [/mm] Als eigenständiges mathematisches Objekt ist f , ganz genau genommen, eine Relation
f(x) ist der Funktionswert von f an der Stelle x, also eine komplexe Zahl
||f|| ist die Norm von f, eine Zahl [mm] \ge [/mm] 0.
Wegen der Def. von ||f|| ist |f(x)| [mm] \le [/mm] ||f||
FRED
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Okay dann hab ich doch soetwas dastehen
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt: n [mm] \ge n_0 \to |f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \le \varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X.
So dieses [mm] "\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X" ist ja aber dann Teil der Implikation, also ein Teil der Schlussfolgerung.
Wie bringe ich, dass ganze jetzt auf die Form:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X gilt: sobald n [mm] \ge n_0 \to |f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \le \varepsilon [/mm] .
Wie komme ich darauf?
Und: Woher weiß ich jetzt, dass das [mm] n_0 [/mm] nicht doch vielleicht von x abhängt? Ich meine, dass ist ja der entscheidende Punkt bei der glmg. Konvergenz!
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Ja okay...also ich korrigiere meine Frage von oben...das eine ist schon klar...wenn ich eine Schlussfolgerung einschränke in diesem Fall auf alle x in X, dann kann ich die Schlussfolgerung ja auch allgemein zulassen wenn ich eben eine solche Voraussetzung wie x in X treffe, d.h.
ob ich die Schlussfolgerung davor oder danach "absichere" ist eigentlich egal.
(P.S. : Gibts soetwas als Satz in der Logik?? )
Aber was mich dennoch interessieren würde wäre die Tatsache woher man weiß, dass [mm] n_0 [/mm] nicht doch von x abhängt - weil es darf ja nur von epsilon abhängen!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bodo,
> Okay dann hab ich doch soetwas dastehen
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] sodass [mm]\forall[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] gilt: n [mm]\ge n_0 \to |f_n(x)[/mm] - f(x)| [mm]\le \varepsilon \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] X.
>
> So dieses [mm]"\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X" ist ja aber dann Teil der
> Implikation, also ein Teil der Schlussfolgerung.
>
> Wie bringe ich, dass ganze jetzt auf die Form:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] sodass [mm]\forall[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X gilt: sobald n [mm]\ge n_0 \to |f_n(x)[/mm]
> - f(x)| [mm]\le \varepsilon[/mm] .
>
> Wie komme ich darauf?
> Und: Woher weiß ich jetzt, dass das [mm]n_0[/mm] nicht doch
> vielleicht von x abhängt? Ich meine, dass ist ja der
> entscheidende Punkt bei der glmg. Konvergenz!
ehrlich gesagt verstehe ich die Frage nicht ganz. Wo ist denn da ein logischer Unterschied? Es ist hier doch mehr oder weniger nur Deine Sache, wie Du es aufschreibst, die Logik bleibt die gleiche:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest vorgegeben. Aus [mm] $\|f_n-f\| \to [/mm] 0$ folgt, dass ein [mm] $n_0=n_0(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] existiert mit [mm] $\|f_n-f\| \le \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0\,.$
[/mm]
Hier steht ja schon, dass das [mm] $n_0$ [/mm] in Abhängigkeit mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] steht und nirgends, dass es von irgendeinem $x$ abhängt.
(Bemerkung: Wenn man nun ein neues [mm] $n_0$, [/mm] nennen wir es mal [mm] $\tilde{n}_0\,,$ [/mm] für die glm. Stetigkeit konstruieren müsste, dann wäre darauf zu achten, dass [mm] $\tilde{n}_0$ [/mm] auch wirklich höchstens nur von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängt!)
Da nun für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt: [mm] $\|f_n-f\| \le \varepsilon\,,$ [/mm] so folgt wegen [mm] $\|f_n-f\|=\text{sup}\{|f_n(x)-f(x)|: x \in X\}$ [/mm] auch, dass für jedes beliebige $x [mm] \in [/mm] X$ gilt, dass, wenn nur $n [mm] \ge n_0=n_0(\varepsilon)$ [/mm] ist:
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| \le \text{sup}\{|f_n(y)-f(y)|: y \in X\}=\|f_n-f\| \le \varepsilon\,.$$
[/mm]
D.h. es gilt: Für alle $n [mm] \ge n_0(\varepsilon)$ [/mm] und für alle $x [mm] \in [/mm] X$ ist dann [mm] $|f_n(x)-f(x)| \le \varepsilon\,.$ [/mm] Das war zu zeigen.
Gruß,
Marcel
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Ja sorry die erste Frage war nicht sehr klug.
Aber dennoch...Es ist klar, dass [mm] n_0 [/mm] von epsilon abhängen muss. Ohne Zweifel. Aber bei der punktweisen Konvergenz hängt es ja noch von x ab. Und zunächst liegt doch eine punktweise Konvergenz mit lim.... vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja sorry die erste Frage war nicht sehr klug.
>
> Aber dennoch...Es ist klar, dass [mm]n_0[/mm] von epsilon abhängen
> muss. Ohne Zweifel. Aber bei der punktweisen Konvergenz
> hängt es ja noch von x ab. Und zunächst liegt doch eine
> punktweise Konvergenz mit lim.... vor?
wo wird da mit pktw. Konvergenz argumentiert? Dass die glm. Kgz. auch die pktw. Kgz. impliziert, ist klar. Aber oben wird nirgends ein [mm] $n_0=n_0(\varepsilon,x)$ [/mm] benutzt.
Du hast doch zwei Beweisrichtungen:
[mm] "$\Rightarrow$:" [/mm] Hier wird [mm] $\lim_{n \to \infty}\|f_n-f\|=0$ [/mm] vorausgesetzt. Damit gelangt man zu einem [mm] $n_0=n_0(\varepsilon)\,.$ [/mm] Dieses [mm] $n_0$ [/mm] ist auch geeignet, um die 'glm. Kgz.-Bedingung', so dass man [mm] $(f_n)_n$ [/mm] gegen $f$ erhält, nachzurechnen.
[mm] "$\Leftarrow$:" [/mm] Hier wird die glm. Kgz. von [mm] $(f_n)_n$ [/mm] gegen $f$ vorausgesetzt. Damit erhält man ein [mm] $n_0=n_0(\varepsilon)\,.$ [/mm] Auch hier ist dieses [mm] $n_0$ [/mm] wieder geeigent, um [mm] $\|f_n-f\| \le \varepsilon$ [/mm] ($n [mm] \ge n_0$) [/mm] einzusehen.
In jedem Beweisschritt nimmt man quasi das [mm] $n_0$, [/mm] was sich hier aus der Voraussetzung ergibt und zeigt, dass sich damit die zu zeigende Behauptung folgern läßt. Es hätte zwar auch durchaus sein können, dass man bei [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] ein [mm] $n_0=n_0(\varepsilon)$ [/mm] nach Vorr. hat und dann evtl. ein [mm] $\tilde{n}_0$ [/mm] hätte konstruieren müssen und argumentieren müssen, warum [mm] $\tilde{n}_0$ [/mm] (höchstens) nur von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängt. (Analog hätte auch die [mm] "$\Leftarrow$"-Richtung [/mm] vll. komplexer sein können). Aber bei obiger Aufgabe sind die auftretenden [mm] $n_0$'s [/mm] stets nach jeweiliger Vorraussetzung nur in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bodo,
> Dumme Frage:
> Was bedeutet eigentlich das f ohne das f(x) ich mein.
> Das ist ja dann nur die Abbildung f an sich und f(x) ist
> die Abbildung auf x angewendet.
> Aber gibt es überhaupt soetwas wie "eine Abbildung" an
> sich?? Ich mein, man schreibt doch immer z.B. [mm]f(x)=x^2.[/mm]
> Was schreibt man dann bei f? f=?^2 ???
das sollte eigentlich bekannt sein. Eine Abbildung ist durch drei Sachen bestimmt:
Den Definitionsbereich, den Zielbereich und der Abbildungsvorschrift.
So gilt z.B. für die Abbildungen
[mm] $\bullet$ [/mm] $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $g: [mm] \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $h: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $h(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in [0,\infty)$) [/mm]
$f [mm] \not= g\,,$ [/mm] $f [mm] \not=h$ [/mm] und $g [mm] \not=h$, [/mm] obwohl überall die Abbildungsvorschrift $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] steht.
> Und warum sagst du in der ersten Zeile |f(x)|<|| f || ?
Weil für irgendeine Menge $M [mm] \not= \emptyset$ [/mm] gilt, dass [mm] $\text{sup} [/mm] M [mm] \ge [/mm] m$ für alle $m [mm] \in M\,.$ [/mm] Das ergibt sich aus der Tatsache, dass das Supremum von $M$ die kleinste obere Schranke für $M$, also insbesondere eine obere Schranke für $M$, ist.
> Wenn du |f(x)|<|| f(x) || = sup|f(x)| schreiben würdest
> wäre das okay. Aber so?!?!
Das wäre eben eigentlich nicht okay. Nimm' mal ein Beispiel:
Sei z.B. [mm] $X=(-1,2)=\{x \in \IR:\;-1 < x < 2\}$ [/mm] und betrachte $f: (-1,2) [mm] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x+i*x\,.$ [/mm] Die Abbildung ist stetig und beschränkt. (Warum?)
Was wäre den hier [mm] $$\|f\|=\text{sup}\{|f(x)|:\;x \in (-1,2)\}=\text{sup}_{x \in X}|f(x)|?$$
[/mm]
Wenn Du [mm] $\|f(x)\|$ [/mm] schreibst, so ist das eigentlich missverständlich. Denn die Norm [mm] $\|.\|$ [/mm] ist ja auf dem Raum $L(X)$ definiert. Es könnte also durchaus sein, dass jemand dann auf die Idee kommt:
Okay, eine Abbildung $f [mm] \in [/mm] L(X)$ ist gegeben. Für festes $x [mm] \in [/mm] X$ betrachten wir die Abbildung $g: X [mm] \to \IC$ [/mm] definiert durch $g(y):=f(x)$ $(y [mm] \in [/mm] X)$ (m.a.W.: $g$ hat auf $X$ konstant den Wert $f(x)$). Dann ist $g$ insbesondere stetig und beschränkt, also $g [mm] \in L(X)\,.$
[/mm]
Und dann könnte es sein, dass jemand [mm] $\|f(x)\|$ [/mm] als [mm] $\|g\|$ [/mm] interpretiert (d.h. es wäre [mm] $\|f(x)\|=\sup\{|f(x)|\}=|f(x)|$, [/mm] weil für festes $x [mm] \in [/mm] X$ die Menge [mm] $\{|f(x)|\}$ [/mm] einelementig ist), was eigentlich eine durchaus naheliegende Interpretation wäre; wobei i.a. dann [mm] $\|f\| \not= \|g\|$ [/mm] wäre.
Um dieses Missverständnis zu vermeiden, würde man aber z.B. bei obigen Raum [mm] $(L(X),\|.\|)$ [/mm] durchaus vereinbaren:
Für $f [mm] \in [/mm] L(X)$ sei [mm] $\|f\|:=\text{sup}\{|f(x)|: x \in X\}\,.$ [/mm] Ist für $f$ nun konkret die Abbildungsvorschrift $f(x)$ bekannt (z.B. [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$, ...), so schreiben wir auch [mm] $\|f(x)\|:=\|f\|$. [/mm]
(Es ist nämlich klar, dass man oben [mm] $\|.\|$ [/mm] nur auf Abbildungen $X [mm] \to \IC$ [/mm] anwendet!)
Aber das ist wirklich eine zu klärende Vereinbarungssache. Per Definitionem ist [mm] $\|f\|$ [/mm] für $f [mm] \in [/mm] L(X)$ klar! Wie [mm] $\|f(x)\|$ [/mm] für $f [mm] \in [/mm] L(X)$ zu interpretieren ist, muss geklärt/abgesprochen/definiert werden.
D.h. wäre z.B. nochmal $X=(-1,2)$, so wäre klar, dass dann mit [mm] $\|x^2\|$ [/mm] nichts anderes als [mm] $\|f\|$ [/mm] gemeint ist, wobei dann die Abbildung [mm] $\,f\,$ [/mm] in eindeutiger Weise durch $f: (-1,2) [mm] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] (-1,2)$) definiert wäre. Mit obiger Absprache wäre das klar.
Gruß,
Marcel
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