Frage zur Prädikatenlogik < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
Ich habe folgende Aussage, die wohl so korrekt ist:
M und N seien Mengen und A(x,y) eine Aussageform ((x,y) [mm] \in [/mm] M x N)
[mm] \exists x\in [/mm] M [mm] (\forall y\in [/mm] N A(x,y)) [mm] \Rightarrow \forall y\in [/mm] N [mm] (\exists x\in [/mm] M A(x,y))
Jedoch verstehe ich nicht warum diese Aussage korrekt ist.
Angenommen die Mengen M und N sehen so aus:
[mm] M:=\{1,2,3\}
[/mm]
[mm] N:=\{4,5\}
[/mm]
dann ist M x N = [mm] \{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)\}
[/mm]
und A: x<y
Dann bedeutet das ja "Es existiert midestens ein x aus M und alle y aus N für die 'x<y' gilt" [mm] \Rightarrow [/mm] "Für Alle y aus N und mindestens ein x aus M gilt 'x<y'"
In diesem Beispiel wäre das ja korrekt, da die Aussage A für alle (x,y) aus M x N stimmt.
Ich verstehe jedoch nicht warum zwischen den Teilaussagen eine Implikation ist, die müssten doch äquivalent sein, denn sie sagen ja das gleiche aus, oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
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> Ich habe folgende Aussage, die wohl so korrekt ist:
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> M und N seien Mengen und A(x,y) eine Aussageform ((x,y) [mm]\in[/mm]
> M x N)
>
> [mm]\exists x\in M\quad (\forall y\in[/mm] N A(x,y)) [mm]\Rightarrow\quad \forall y\in\ N\ (\exists x\in[/mm] M A(x,y))
>
> Jedoch verstehe ich nicht warum diese Aussage korrekt ist.
> Angenommen die Mengen M und N sehen so aus:
> [mm]M:=\{1,2,3\}[/mm]
> [mm]N:=\{4,5\}[/mm]
> dann ist M x N = [mm]\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)\}[/mm]
> und A: x<y
Für einen Nachweis geht es natürlich nicht an, dass du
bestimmte Mengen M und N und eine darauf definierte
Aussageform einfach vorgibst, denn der Beweis soll ja
für beliebige Mengen und beliebige darauf definierte
Aussageformen gelten.
> Dann bedeutet das ja "Es existiert midestens ein x aus M
> und alle y aus N für die 'x<y' gilt" [mm]\Rightarrow[/mm] "Für
> Alle y aus N und mindestens ein x aus M gilt 'x<y'"
Diese sprachliche Umsetzung der behaupteten Aussage ist
ziemlich verkorkst und unverständlich.
> Ich verstehe jedoch nicht warum zwischen den Teilaussagen
> eine Implikation ist, die müssten doch äquivalent sein,
> denn sie sagen ja das gleiche aus, oder nicht?
1.) Falls Äquivalenz vorläge, wäre die Implikation (von links nach
rechts) jedenfalls auch richtig.
2.) Tatsächlich liegt aber keine Äquivalenz vor !
Um die Implikation korrekt in eine sprachliche Aussage umzusetzen,
würde ich empfehlen, zuerst der Deutlichkeit halber noch mehr
Klammern einzuführen:
[mm] $\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)$
[/mm]
Zur sprachlichen Formulierung gebe ich mal einen Anfang an:
Falls in der Menge M ein (bestimmtes) Element x existiert,
welches zu allen Elementen von N in der Relation A steht,
so folgt, dass für jedes Element y von N ...........
LG Al-Chw.
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> 1.) Falls Äquivalenz vorläge, wäre die Implikation (von
> links nach
> rechts) jedenfalls auch richtig.
> 2.) Tatsächlich liegt aber keine Äquivalenz vor !
>
> Um die Implikation korrekt in eine sprachliche Aussage
> umzusetzen,
> würde ich empfehlen, zuerst der Deutlichkeit halber noch
> mehr
> Klammern einzuführen:
>
> [mm]\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)[/mm]
>
> Zur sprachlichen Formulierung gebe ich mal einen Anfang
> an:
>
> Falls in der Menge M ein (bestimmtes) Element x existiert,
> welches zu allen Elementen von N in der Relation A steht,
> so folgt, dass für jedes Element y von N ...........
>
>
> LG Al-Chw.
>
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ehrlich gesagt irritieren mich die Klammern in der Aussage eher als das sie mir mehr Deutlichkeit geben.
Was ich gerade nicht verstehe ist, warum z.B. das [mm] \forall y\in [/mm] N der linken Teilaussage zusammen mit dem A(x,y) in der Klammer steht, bzw. warum das [mm] \exists x\in M\quad [/mm] nicht in dieser Klammer steht...
Ich versuche trotzdem mal deine sprachliche Formulierung fortzusetzen:
Falls in der Menge M ein (bestimmtes) Element x existiert,
welches zu allen Elementen von N in der Relation A steht,
so folgt, dass für jedes Element y von N (mindestens) ein Element x von M existiert,
welches mit diesen in der Relation A steht
Ist das so korrekt?
lg nitro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Do 14.10.2010 | | Autor: | nitromath |
Ich habe gerade überlegt warum hier keine Äquivalenz vorliegt und habe nun folgende Idee:
Der Unterschied zwischen Äquivalenz und Implikation ist ja nur dieser, dass sich Aussagen bei der Implikation genau verhalten wie bei der Äquivalenz, jedoch bei der Implikation zusätzlich die 1. Teilaussage falsch sein kann und die 2. Teilaussage richtig und trotzdem die Gesamtaussage wahr ist.
Würde das hier in diesem Fall bedeuten, dass wenn in der Menge M kein Element x existiert, welches zu allen Elementen von N in der Relation A steht (und somit die 1. Teilaussage falsch wäre), es trotzdem sein kann, dass es für alle Elemente von N irgendein (also nicht ein bestimmtes) Element aus M gibt, das mit diesen in der Relation A steht?
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> > 1.) Falls Äquivalenz vorläge, wäre die Implikation (von
> > links nach
> > rechts) jedenfalls auch richtig.
> > 2.) Tatsächlich liegt aber keine Äquivalenz vor !
> >
> > Um die Implikation korrekt in eine sprachliche Aussage
> > umzusetzen,
> > würde ich empfehlen, zuerst der Deutlichkeit halber
> noch
> > mehr
> > Klammern einzuführen:
> >
> > [mm]\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)[/mm]
>
> >
> > Zur sprachlichen Formulierung gebe ich mal einen Anfang
> > an:
> >
> > Falls in der Menge M ein (bestimmtes) Element x existiert,
> > welches zu allen Elementen von N in der Relation A
> steht,
> > so folgt, dass für jedes Element y von N ...........
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Ehrlich gesagt irritieren mich die Klammern in der Aussage
> eher als das sie mir mehr Deutlichkeit geben.
> Was ich gerade nicht verstehe ist, warum z.B. das [mm]\forall y\in[/mm]
> N der linken Teilaussage zusammen mit dem A(x,y) in der
> Klammer steht, bzw. warum das [mm]\exists x\in M\quad[/mm] nicht in
> dieser Klammer steht...
(Diese Klammern standen allerdings schon in deiner ersten
Fassung. In Aussagen mit Quantoren ist jedenfalls deren
Reihenfolge stets exakt zu beachten.)
> Ich versuche trotzdem mal deine sprachliche Formulierung
> fortzusetzen:
> Falls in der Menge M ein (bestimmtes) Element x
> existiert,
> welches zu allen Elementen von N in der Relation A steht,
> so folgt, dass für jedes Element y von N (mindestens) ein
> Element x von M existiert,
> welches mit diesen in der Relation A steht
>
> Ist das so korrekt?
Ja, falls du das fett dargestellte "n" durch ein "m" ersetzt.
> lg nitro
LG Al-Chw.
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> (Diese Klammern standen allerdings schon in deiner ersten
> Fassung. In Aussagen mit Quantoren ist jedenfalls deren
> Reihenfolge stets exakt zu beachten.)
>
> > Ich versuche trotzdem mal deine sprachliche Formulierung
> > fortzusetzen:
> > Falls in der Menge M ein (bestimmtes) Element x
> > existiert,
> > welches zu allen Elementen von N in der Relation A
> steht,
> > so folgt, dass für jedes Element y von N (mindestens)
> ein
> > Element x von M existiert,
> > welches mit diesen in der Relation A steht
> >
> > Ist das so korrekt?
>
> Ja, falls du das fett dargestellte "n" durch ein "m"
> ersetzt.
>
> > lg nitro
>
>
> LG Al-Chw.
>
Super, dankeschön, das hat mir schon sehr geholfen.
Nun noch eine letzte Frage.
Ich habe mir überlegt warum hier dann keine Äquivalenz, sondern eine Implikation vorliegt:
Würde das hier in diesem Fall bedeuten, dass wenn in der Menge M kein (bestimmtes) Element x existiert, welches zu allen Elementen von N in der Relation A steht (und somit die 1. Teilaussage falsch wäre), es trotzdem sein kann, dass es für alle Elemente von N irgendein (also nicht ein bestimmtes) Element aus M gibt, das mit diesen in der Relation A steht?
Ist das so korrekt?
lg nitro
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Die gültige Implikation besagt:
$ [mm] \left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right) [/mm] $
Ich nehme einmal an, dass dir deren Beweis keinerlei
Schwierigkeiten bereitet hat - oder ?
Damit man sie zur Äquivalenz
$ [mm] \left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \gdw\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right) [/mm] $
ausbauen könnte, müsste auch die umgekehrte Impli-
kation gelten, also:
$ [mm] \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)$
[/mm]
Die Gültigkeit dieser Aussage kann man aber schon
mit sehr einfachen Beispielen widerlegen, etwa
mit $\ M\ =\ N\ =\ [mm] \{\,1\,,\,2\,\}$ [/mm] und $\ A(x,y):=\ (x=y)$
LG Al-Chw.
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> Die gültige Implikation besagt:
>
> [mm]\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)[/mm]
>
> Ich nehme einmal an, dass dir deren Beweis keinerlei
> Schwierigkeiten bereitet hat - oder ?
Wie beweist man denn das? Hast du mir da evtl einen Ansatz?
> Damit man sie zur Äquivalenz
>
> [mm]\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \gdw\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)[/mm]
>
> ausbauen könnte, müsste auch die umgekehrte Impli-
> kation gelten, also:
>
> [mm]\left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)[/mm]
>
> Die Gültigkeit dieser Aussage kann man aber schon
> mit sehr einfachen Beispielen widerlegen, etwa
> mit [mm]\ M\ =\ N\ =\ \{\,1\,,\,2\,\}[/mm] und [mm]\ A(x,y):=\ (x=y)[/mm]
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>
> LG Al-Chw.
>
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Gilt so ein Beispiel als mathematisch korrekter Beweis?
lg nitro
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Hallo nitro,
> > Die gültige Implikation besagt:
> >
> > [mm]\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)[/mm]
>
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> > Ich nehme einmal an, dass dir deren Beweis keinerlei
> > Schwierigkeiten bereitet hat - oder ?
>
> Wie beweist man denn das? Hast du mir da evtl einen
> Ansatz?
Es wäre keine schlechte Idee, wenn du dir zuerst die zu
beweisende Aussage anhand eines einfachen Pfeildiagramms
der Relation A auf den Mengen M und N klar machen würdest.
Auf der rechten Seite der Implikation steht zunächst eine
All-Aussage der Form "Für alle y in N gilt: ....."
Fange dann eine Überlegung an (und protokolliere sie) von
der Form:
"Sei y ein beliebiges Element von N. Dann folgt ....."
>
> > Damit man sie zur Äquivalenz
> >
> > [mm]\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)\quad \gdw\quad \left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)[/mm]
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> >
> > ausbauen könnte, müsste auch die umgekehrte Impli-
> > kation gelten, also:
> >
> > [mm]\left(\forall y\in N\ (\exists x\in M\ A(x,y))\right)\quad \Rightarrow\quad\left(\exists x\in M\quad (\forall y\in N\ A(x,y))\right)[/mm]
>
> >
> > Die Gültigkeit dieser Aussage kann man aber schon
> > mit sehr einfachen Beispielen widerlegen, etwa
> > mit [mm]\ M\ =\ N\ =\ \{\,1\,,\,2\,\}[/mm] und [mm]\ A(x,y):=\ (x=y)[/mm]
> >
> >
> Gilt so ein Beispiel als mathematisch korrekter Beweis?
Natürlich. Um zu zeigen, dass eine allgemeine Aussage nicht
wahr sein kann, genügt schon das bescheidenste erhärtete
Gegenbeispiel.
> lg nitro
LG Al-Chw.
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