Frage zur Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Also, gegeben sei die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty } 2^{((-1)^{n} -2) *n)}
[/mm]
Unser Übungsleiter hatte dies in zwei Teilfolgen (gerade n, ungerade n) unterteilt und dann Wurzelkrit. angewendet. verstehe ich auch soweit. Da kam dann halt 1/2 und 1/8 raus.
So, jetzt kommen die Fragen xD
Beim Wurzelkriterium wird der der limsup überprüft, also hier 1/8, oder? Wenn der <1 ist, konvergiert die Reihe. Aber der Grenzwert muss nicht 1/8 sein, oder? Das würde ja bedeuten, dass das Wurzelkriterium den Grenzwert nicht angibt, sondern lediglich zur Überprüfung auf Konvergenz dient. Bisher richtig?
Nur wie würde man dann den Grenzwert bestimmen?
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> Hallo.
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> Also, gegeben sei die Reihe
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty } 2^{((-1)^{n} -2) *n)}[/mm]
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> Unser Übungsleiter hatte dies in zwei Teilfolgen (gerade
> n, ungerade n) unterteilt und dann Wurzelkrit. angewendet.
> verstehe ich auch soweit. Da kam dann halt 1/2 und 1/8
> raus.
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> So, jetzt kommen die Fragen xD
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> Beim Wurzelkriterium wird der der limsup überprüft, also
> hier 1/8, oder? Wenn der <1 ist, konvergiert die Reihe.
> Aber der Grenzwert muss nicht 1/8 sein, oder? Das würde ja
> bedeuten, dass das Wurzelkriterium den Grenzwert nicht
> angibt, sondern lediglich zur Überprüfung auf Konvergenz
> dient. Bisher richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Nur wie würde man dann den Grenzwert bestimmen?
Wenn du die absolute Konvergenz nachgewiesen hast, darfst du die Reihe umsortieren und andere Rechenoperationen durchführen, d.h. du kannst sie trennen nach geraden und ungeraden Koeffizienten:
Dafür musst du "ungerade" und "gerade" noch in Formeln fassen, z.B.
gerade n : $n = 2k$
ungerade n: $n = 2k-1$
Dann kannst du das für n einsetzen und dann die unendlichen Summen über k laufen lassen:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty } 2^{((-1)^{n} -2) *n)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-2k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-3*(2k-1)} [/mm] $
Beide Teile kannst du jetzt zu einer geometrischen Reihe umformen und für die ist der Grenzwert bekannt.
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} 2^{-2k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \left(2^{2}\right)^{-k}= \summe_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{k} [/mm] - 1 = [mm] \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} [/mm] - 1$
Die geometrische Reihe startet mit k=0, deswegen muss man das im letzten Schritt noch entsprechend ändern.
Ziemlich analog geht das dann auch für den anderen Teil, da muss man bei der Potenz noch einen konstanten Faktor vor das Summenzeichen ziehen.
Das müsste eine der Standard-Vorgehensweisen sein.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Vielen, vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Soll jetzt nicht übertrieben wirken, aber du hast das grad besser erklärt wie mein Übungsleiter ;)
Das Unterteilen darf ich aber NUR, wenn ich die Konvergenz nachgewiesen habe, oder? Möchte zur Sicherheit nochmal nachfragen.
Ich mach mal das andere, ok:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-3(2k-1)}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-6k+3)}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-6k} [/mm] * [mm] 2^{3}
[/mm]
Da ist nun der konstante Faktor, also:
= [mm] $2^{3} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-6k}$
[/mm]
= [mm] 2^{3} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{64})^{k}
[/mm]
= [mm] 2^{3} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{64})^{k} [/mm] -1
= [mm] 2^{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{64}} [/mm] -1
Geht das so?
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> Vielen, vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Soll
> jetzt nicht übertrieben wirken, aber du hast das grad
> besser erklärt wie mein Übungsleiter ;)
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> Das Unterteilen darf ich aber NUR, wenn ich die Konvergenz
> nachgewiesen habe, oder? Möchte zur Sicherheit nochmal
> nachfragen.
Ja, ansonsten klappt das nicht. Beliebtes Gegenbeispiel:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n [/mm] = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0$
aber auch:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n [/mm] = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1 + (-1 + 1) + (-1 +1 ) + ... = 1$
Daran sieht man wie ich finde sehr schön, dass es nicht geht.
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> Ich mach mal das andere, ok:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-3(2k-1)}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-6k+3)}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-6k}[/mm] * [mm]2^{3}[/mm]
>
> Da ist nun der konstante Faktor, also:
>
> = [mm]2^{3} * \summe_{k=1}^{\infty}2^{-6k}[/mm]
>
> = [mm]2^{3}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{64})^{k}[/mm]
>
> = [mm]2^{3}[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{64})^{k}[/mm] -1
>
> = [mm]2^{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{64}}[/mm] -1
>
> Geht das so?
>
Ich seh das genauso  .
lg weightgainer
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