Frage zum Wertebereich < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im Folgenden sind drei Funktionen gegeben. Zeichnen Sie diese und ermitteln sie aus den grafischen Darstellungen jeweils:
Schnittpunkt mit der y-Achse
Nullstellen
Wertemenge
Geben Sie zusätzlich die maximalen Definitionsbereiche von f,g und h an.
a) f(x).. ist klar
b) g(x).. ist klar
c) [mm]h(x)=0,2x^4-2x^2+6[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nachdem ich die Funktion h(x) gezeichnet habe, bekomme ich folgendes heraus.
Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0/6)
Nullstellen: Nicht vorhanden
Definitionsbereich: [mm]D max = \IR[/mm]
Wertebereich: [mm]W=[-2,5;\infty[[/mm]
In den Lösungen ist der Wertebereich jedoch als [mm]W=[1;\infty[[/mm] angegeben. Warum 1 und nicht -2,5? Der Graph der Funktion geht doch auch ins Minus (auf der linken Seite). Könntet ihr mir das bitte erklären?
Vielen lieben Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Do 23.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hat $ [mm] h(x)=0,2x^4-2x^2+6 [/mm] $
Für diese Funktion gilt:
[mm] \lim_{x\to+\infty}=+\infty [/mm] und [mm] \lim_{x\to-\infty}=+\infty
[/mm]
Also ist der Wertebereich nach oben offen und nach unten beschränkt.
Die Untergrenze ist die kleinste y-Koordinate der Tiefpunkte.
Also:
$ [mm] h(x)=0,2x^4-2x^2+6 [/mm] $
[mm] h'(x)=0,8x^{3}-4x
[/mm]
[mm] h''(x)=2,4x^{2}-4
[/mm]
Setze h'(x)=0, um die Extrempunkte zu bestimmen:
[mm] 0=0,8x^{3}-4x
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow0=0,8x\cdot(x^{2}-5)
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 $ oder [mm] x=\pm\sqrt{5}
[/mm]
bei [mm] \pm\sqrt{5} [/mm] liegt nun der Tiefpunkt, denn [mm] h''(\pm\sqrt{5})>0
[/mm]
Nun gilt:
[mm] h(\sqrt{5})=0,2\cdot(\sqrt{5})^{4}-2\cdot(\sqrt{5})^{2}+6=0,2\cdot25-2\cdot5+6=1
[/mm]
Wegen der y-Achsensymmetrie von h ist auch [mm] h(-\sqrt{5})=1
[/mm]
Also:
[mm] \IW=[1;\infty[
[/mm]
Da die Funktion keine Nullstellen hat, aber im Randverhalten gegen [mm] +\infty [/mm] geht, hätte dich dein Wertebereich mit [mm] \red{-}2,5 [/mm] als Untergrenze stutzig machen sollen.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Ohne Kurvendiskussion:
$h(x) [mm] \ge [/mm] 1 ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ [mm] x^4-10x^2+30 \ge [/mm] 5 ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ [mm] x^4-10x+25 \ge [/mm] 0 ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ [mm] (x^2-5)^2 \ge [/mm] 0$
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 23.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Und hier noch ein Weg über Termumformungen:
$ [mm] h(x)=0,2x^4-2x^2+6 [/mm] $
[mm] =0,2(x^{4}-10x^{2})+6
[/mm]
[mm] =0,2(x^{4}-10x^{2}+25-25)+6
[/mm]
[mm] =0,2(x^{4}-10x^{2}+25-25)+6
[/mm]
[mm] =0,2((x^{2}-5)^{2}-25)+6
[/mm]
[mm] =0,2(x^{2}-5)^{2}-5+6
[/mm]
[mm] =0,2(x^{2}-5)^{2}+1
[/mm]
Marius
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