Frage zum Thema Bijektion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Rheinsi |
Habe nur eine schnelle triviale Frage, bin mir aber komischerweise nicht sicher!
Folgende Situation:
Ich weiß:
1.) f : A -> B injektiv
2.) B [mm] \subset [/mm] A
Daraus folgt doch automatisch, dass f bijektiv ist, oder? (demnach auch |A| = |B| )
Bitte um schnelle Antwort (Bestätigung)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 25.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Habe nur eine schnelle triviale Frage, bin mir aber
> komischerweise nicht sicher!
>
> Folgende Situation:
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> Ich weiß:
>
> 1.) f : A -> B injektiv
> 2.) B [mm]\subset[/mm] A
>
> Daraus folgt doch automatisch, dass f bijektiv ist, oder?
Nein ! Beispiel: A = B = [mm] \IR, [/mm] $f(x) = [mm] e^x$
[/mm]
Falls Du mit B [mm]\subset[/mm] A meinen soltest: B [mm]\subseteq[/mm] A und B [mm] \not= [/mm] A, so nimm dieses Beispiel:
A = [mm] \IR, [/mm] B = (0, [mm] \infty) \cup [/mm] {-17}, $f(x) = [mm] e^x$
[/mm]
> (demnach auch |A| = |B| )
>
> Bitte um schnelle Antwort (Bestätigung)
War die Antwort schnell genug ? Wenn Du demnächst wieder einmal etwas auf die Schnelle brauchst (z.B. Klopapier), so sag Bescheid und fred ist zur Stelle.
der schnelle FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Rheinsi |
ok, weiß zusätzlich ker(f) = 0
A, B sind Ringe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mi 25.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok, weiß zusätzlich ker(f) = 0
> A, B sind Ringe
Witzbold !
Bevor wir Gefahr laufen, dass Du uns noch einige weitere Informationen vorenthalten hast, gib bitte die vollständige Aufgabenstellung bekannt !
(Falls Du es nicht zu eilig hast)
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:24 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Rheinsi |
Also Aufgabenstellung ist folgende:
Es sei R ein kommutativer Ring, R[x] der Polynomring und a [mm] \subseteq [/mm] R ein Ideal. Es bezeichne aR[x] das von a erzeugte Ideal von R[x] und R/a [x] den Polynomring über dem Quotientenring R/a. Man zeige die Existenz eines Ringisomorphismus
R[x]/aR[x] [mm] \cong [/mm] R/a [x]
Habe erstmal gezeigt, das R/a [x] [mm] \subseteq [/mm] R[x]/aR[x] !
Dann habe ich mir einen Ringhomomorphismus gebastelt wie folgt:
f [mm] (a*(a_{n}*x_{n} [/mm] + ....... + [mm] a_{0}) [/mm] + [mm] (b_{m}*x_{m} [/mm] + ....... + [mm] b_{0}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{max(n,m)} (b_{i}+a*a_{i})*x_{i} [/mm] wobei [mm] b_{i} [/mm] = 0 für i>m und [mm] a_{i} [/mm] = 0 für i>n.
Somit ist ker(f)=0.
Nun habe ich den Homomorphiesatz angewendet, so das es einen Ringhomomorphismus g von (R[x]/aR[x])/0 -> R/a [x] gibt, der injektiv ist, da ker(f) = 0.
da (R[x]/aR[x])/0 = R[x]/aR[x] habe ich ne injektive Abbildung von R[x]/aR[x] -> R/a [x] und damit folgt
(für mich) mit R/a [x] [mm] \subseteq [/mm] R[x]/aR[x] das g auch ne Bijektion ist!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 27.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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