Frage zu zwei Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe 1 | | [mm] a_n [/mm] = [mm] i^n [/mm] + [mm] (-1)^n [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] b_n [/mm] = [mm] (\bruch{3+4i}{5})^n [/mm] |
Hallo zusammen ich habe zwei Fragen zu den oben gennanten Aufgaben. Die Lösung zu 1 ist:
[mm] a_n [/mm] = [mm] i^n [/mm] + [mm] (-1)^n
[/mm]
[mm] \left|x_n \right| [/mm] = [mm] \left|i^n + (-1)^n\right| \le |i|^n [/mm] + [mm] |-1|^n [/mm] = 2
Zunächst wie kommt mann denn hier auf "=2". Weiter steht in der Lösung:
Da [mm] x_{4n} [/mm] = 2 [mm] \to [/mm] 2 für n [mm] \to \infty, [/mm] jedoch [mm] x_{4n+2} [/mm] = -1 + 1 = 0 [mm] \to [/mm] 0 fpr n [mm] \to \infty [/mm] , hat die Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] zwei Teilfolgen mit unterschiedlichen Limites und kann daher nicht konvergieren. Damit ist die Folge divergent und beschränkt.
Wieso bekommt man hier für [mm] x_{4n} [/mm] = 2 [mm] \to [/mm] 2 für n [mm] \to \infty [/mm] und für [mm] x_{4n+2} [/mm] = -1 + 1 = 0 [mm] \to [/mm] 0 fpr n [mm] \to \infty [/mm] . Wieso ist man hier überhaupt so an die Lösung gegangen?
Und zur zweiten Aufgabe verstehe ich die Lösung auch nicht wirklich:
[mm] b_n [/mm] = [mm] (\bruch{3+4i}{5})^n
[/mm]
Da [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n| [/mm] = [mm] \bruch{2\wurzel{5}}{5} [/mm] keine Nullfolge ist, kann [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] nicht konvergiere. Die Folge ist somit divergent u nd beschränkt, da [mm] |x_n| [/mm] = 1 für n [mm] \in \IN. [/mm] Ich verstehe hier vor allem nicht, warum man hier diesen Schritt macht: [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n|.
[/mm]
Vielen vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also es wurde wohl zuerst [mm] |a_n| [/mm] etwas nach oben abgeschätzt, um zu zeigen, dass [mm] a_n [/mm] schon mal beschränkt ist, also eventuell noch konvergieren kann. Man kommt dabei auf die 2, weil der Beträge von i und -1 doch beide 1 sind. Also |i|=|-1|=1. Damit sind auch [mm] |i|^n [/mm] und [mm] |-1|^n [/mm] beide 1 (und die Summe dann 2).
Nun wird aber gezeigt, dass die Folge trotzdem nicht konvergiert. Das ist so ähnlich wie bei der reellen Folge [mm] c_n=(-1)^n. [/mm] Schreibt man sich ein paar Folgenglieder auf, so sieht man, dass die Folge so lautet: -1,1,-1,1,-1,1,...
Da sieht man schon, dass [mm] c_n [/mm] nicht konvergiert. Will man das beweisen, schaut man sich eben einfach die Folgen [mm] c_{2n} [/mm] und [mm] c_{2n+1} [/mm] an. Dann sieht man, dass eine den Grenzwert 1 und die andere den Grenzwert -1 hat. Also kann [mm] c_n [/mm] nicht konvergieren, denn sonst müssten die beiden Teilfolgen den gleichen Grenzwert besitzen.
Das gleiche kann man für deine Aufgabe machen. Schreib dir ein paar Folgenglieder hin und du siehst, dass deine Folge eine Periode von 4 hat. Dann guckt man sich auch 2 Teilfolgen an, z.B. [mm] a_{4n} [/mm] und [mm] a_{4n+2} [/mm] und erkennt, dass beide unterschiedliche Grenzwerte besitzen, also kann [mm] a_n [/mm] nicht konvergieren. Man kann auch gerne [mm] a_{4n+1} [/mm] oder [mm] a_{4n+3} [/mm] nehmen, ist ganz egal.
Es gilt [mm] a_{4n}=i^{4n}+(-1)^{4n}. [/mm] Nun ist doch [mm] i^4=1, [/mm] also [mm] i^{4n}=(i^4)^n=1^n=1. [/mm] Analog mit [mm] (-1)^{4n}. (-1)^4=1, [/mm] also [mm] (-1)^{4n}=((-1)^4)^n=1, [/mm] also ist [mm] a_{4n}=1+1=2 [/mm] für alle n. Das gleiche kannst du nun mal für [mm] a_{4n+2} [/mm] nachrechnen. Du musst nur wissen, dass [mm] i^1=i, i^2=-1, i^3=-i [/mm] und [mm] i^4=1 [/mm] ist.
Zur 2. Folge:
Man könnte sich erst einmal auch den Betrag von [mm] $b_1=\bruch{3+4i}{5}$ [/mm] anschauen. Wäre dieser <1, so würde [mm] b_n [/mm] gegen 0 konvergieren, denn es gilt [mm] b_n \rightarrow [/mm] 0 [mm] \gdw |b_n| \rightarrow [/mm] 0.
Wäre [mm] |b_1|>1, [/mm] so würde [mm] b_n [/mm] divergieren, da die Beträge von [mm] b_n [/mm] immer größer werden würden (da dann [mm] |b_n| \rightarrow \infty).
[/mm]
Das wären die einfachen Fälle. Nun gilt hier aber [mm] |b_1|=|\bruch{3+4i}{5}|=1. [/mm] Daher kann man pauschal erst einmal nichts sagen, außer dass die Folge immer Werte auf dem Einheitskreis um 0 liefert.
Dann kann man sich an Cauchyfolgen zurückerinnern. Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Nun wurde im Folgenden gezeigt, dass [mm] b_n [/mm] keine Cauchyfolge ist, also auch nicht konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo Teufel danke für die ausführliche Antwort! Ich denke ich habe es nun verstanden!
Viele Grüße!
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