Frage zu einer Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 06.05.2012 | | Autor: | loggeli |
| Aufgabe | Bestimme die Taylorreihe von f:(-1,1) [mm] \to \IR [/mm] mit
f(x) = ln [ [mm] (1+x)^3 [/mm] / [mm] \wurzel(1-x) [/mm] ]
mit Entwicklungspunkt x0=0. Wie groß ist der Konvergenzradius der Taylorreihe mindestens? |
Hallo,
Als ich versucht habe, diese Funktion in eine Taylorreihe zu entwickeln kam ich nicht wirklich auf einen grünen Zweig. Komplizierte Ableitungen und eine Taylorreihe die keine Gesetzmäßigkeit bei der Bildung erkennen ließ.
Mein Ansatz war daher folgender:
Ich bringe die Funktion durch Abschätzen nach unten auf die folgende Funktion zurück:
f(x) = ln [ (1+x) / (1-x) ]
Durch Logarithmengesetze erhalte ich dann:
f(x) = ln(1+x) - ln(1-x)
Und das kann man ja ganz friedlich in eine Taylorreihe entwickeln. Diese Reihen sind sogar bekannt.
Kann ich das so machen?
Freue mich auf Antworten :)
Gruß,
loggeli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo loggeli,
> Bestimme die Taylorreihe von f:(-1,1) [mm]\to \IR[/mm] mit
>
> f(x) = ln [ [mm](1+x)^3[/mm] / [mm]\wurzel(1-x)[/mm] ]
>
> mit Entwicklungspunkt x0=0. Wie groß ist der
> Konvergenzradius der Taylorreihe mindestens?
> Hallo,
>
> Als ich versucht habe, diese Funktion in eine Taylorreihe
> zu entwickeln kam ich nicht wirklich auf einen grünen
> Zweig. Komplizierte Ableitungen und eine Taylorreihe die
> keine Gesetzmäßigkeit bei der Bildung erkennen ließ.
>
> Mein Ansatz war daher folgender:
>
> Ich bringe die Funktion durch Abschätzen nach unten auf
> die folgende Funktion zurück:
>
> f(x) = ln [ (1+x) / (1-x) ]
>
> Durch Logarithmengesetze erhalte ich dann:
>
> f(x) = ln(1+x) - ln(1-x)
>
> Und das kann man ja ganz friedlich in eine Taylorreihe
> entwickeln. Diese Reihen sind sogar bekannt.
>
> Kann ich das so machen?
>
Durch Anwendung der Logarithmengesetze auf die gegebene Funktion
kannst Du diese Funktion ebenso vereinfachen.
> Freue mich auf Antworten :)
>
> Gruß,
> loggeli
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 06.05.2012 | | Autor: | loggeli |
Hi,
danke für deine Antowort :)
mein Problem ist, dass ich keine Reihe für ln [ [mm] (x+1)^3 [/mm] ] sowie ln [mm] [\wurzel(1-x) [/mm] ] finden kann, womit ich dann den Konvergenzradius bestimmen kann. Liegt daran, dass ich bei der Taylorreihenentwicklung keine richtige Gesetzmäßigkeit erkenne wie bei den Standardbeispielen. Deshalb hab ich versucht, dass ganze auf eine Standardform zurückzubringen.
Es wäre super, wenn du mir genau sagen könntest, wo meine Überlegung falsch ist und wie ich ggf. eine Lösung finden kann. Vorallendingen für den Konvergenzradius.
Gruß,
loggeli
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Hallo loggeli,
> Hi,
>
> danke für deine Antowort :)
>
> mein Problem ist, dass ich keine Reihe für ln [ [mm](x+1)^3[/mm] ]
> sowie ln [mm][\wurzel(1-x)[/mm] ] finden kann, womit ich dann den
Das kannst Du doch weiter vereinfachen.
Es gilt doch: [mm]\ln\left(z^{n}\right)=n*\ln\left(z\right), \ z > 0[/mm]
> Konvergenzradius bestimmen kann. Liegt daran, dass ich bei
> der Taylorreihenentwicklung keine richtige
> Gesetzmäßigkeit erkenne wie bei den Standardbeispielen.
> Deshalb hab ich versucht, dass ganze auf eine Standardform
> zurückzubringen.
>
> Es wäre super, wenn du mir genau sagen könntest, wo meine
> Überlegung falsch ist und wie ich ggf. eine Lösung finden
> kann. Vorallendingen für den Konvergenzradius.
>
> Gruß,
> loggeli
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 06.05.2012 | | Autor: | loggeli |
Hi,
danke für Deinen Tipp. Manchmal liegt das einfache so fern ;)
Werde es damit weiterversuchen und dann nochmal posten.
Gruß,
loggeli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 07.05.2012 | | Autor: | loggeli |
Hi,
habe jetzt folgenden Ausdruck dort stehen:
f(x) = 3 * ln(1+x) - 1/2 * ln(1-x)
Die Taylorreihen von ln(1+x) und ln(1-x) sind ja bekannt. Ihr Konvergenzradius ist jeweils r=1.
Somit hätte meine Taylorreihe einen Konvergenzradius von r=1,5. Das liegt alledings nicht im Def. Berreich der Funktion. Der ist ja x [mm] \in [/mm] (-1;1)
Kann ich jetzt sagen, dass der Konvergenzradius der Funktion f(x) mind. r=1 ist?
Gruß,
loggeli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> habe jetzt folgenden Ausdruck dort stehen:
>
> f(x) = 3 * ln(1+x) - 1/2 * ln(1-x)
>
> Die Taylorreihen von ln(1+x) und ln(1-x) sind ja bekannt.
> Ihr Konvergenzradius ist jeweils r=1.
Richtig.
>
> Somit hätte meine Taylorreihe einen Konvergenzradius von
> r=1,5.
Was ist los ? Wie kommst Du auf 1,5 ???
> Das liegt alledings nicht im Def. Berreich der
> Funktion. Der ist ja x [mm]\in[/mm] (-1;1)
> Kann ich jetzt sagen, dass der Konvergenzradius der
> Funktion f(x) mind. r=1 ist?
Ja
FRED
>
> Gruß,
> loggeli
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