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Frage zu einem Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Sa 29.08.2009
Autor: Surfer

Hallo, irgendwie komme ich hier gerade nicht auf einen Punkt, und zwar wieso ist das Integral von:

[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{sin^{2}\phi dx} [/mm] = [mm] \pi [/mm] ?

bitte um eine kurze herleitung?

lg Surfer

        
Bezug
Frage zu einem Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Sa 29.08.2009
Autor: Arcesius

Hallo

> Hallo, irgendwie komme ich hier gerade nicht auf einen
> Punkt, und zwar wieso ist das Integral von:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{sin^{2}\phi dx}[/mm] = [mm]\pi[/mm] ?
>  

mit dx meinst du wohl [mm] d\phi.. [/mm]

> bitte um eine kurze herleitung?
>  

Das Integral [mm] \integral{sin^{2}(\phi) d\phi} [/mm] lässt sich leicht durch partieller Integration berechnen.

Das Resultat ist dann

[mm] \integral{sin^{2}(\phi) d\phi} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x [/mm] - sin(x)cos(x))

Wenn du jetzt deine Grenzen einsetzt, dann siehst du, dass: [mm] \bruch{1}{2}(x [/mm] - [mm] sin(x)cos(x))|_{0}^{2\pi} [/mm] = [mm] \pi [/mm] - 0 = [mm] \pi [/mm]

> lg Surfer

Suchst du nach einer Herleitung des Integrals oder reicht dir dies so?

Grüsse, Amaro

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Frage zu einem Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 So 30.08.2009
Autor: Surfer

Sag mal würde es dir was ausmachen, wenn du mir das einmal mit der partiellen Integrationsformel vorrechnen könntest, ich check es irgendwie nicht, habs probiert und dreh damit noch durch!

also wäre super nett

lg Surfer

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Frage zu einem Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 So 30.08.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Surfer,

schreibe  [mm] $\sin^2(\phi)=\sin(\phi)\cdot{}\sin(\phi)$ [/mm] und rechne es geradeheraus aus:

Ohne Grenzen:

[mm] $\int{\sin^2(\phi) \ d\phi}=\int{\sin(\phi)\cdot{}\sin(\phi) \ d\phi}$ [/mm]

Mit [mm] $u:=\sin(\phi)$ [/mm] und [mm] $v'=\sin(\phi)$ [/mm] ist dann

[mm] $\blue{\int{\sin^2(\phi) \ d\phi}}=\sin(\phi)\cdot{}(-\cos(\phi))-\int{\cos(\phi)\cdot{}(-\cos(\phi)) \ d\phi}=-\sin(\phi)\cdot{}\cos(\phi)+\int{\cos^2(\phi) \ d\phi}$ [/mm]

Nun benutze im hinteren Integral den trigonometrischen Pythagoras: [mm] $1=\sin^2(\phi)+\cos^2(\phi)$ [/mm]

Und stelle schlussendlich die Gleichung nach dem gesuchten Integral [mm] $\blue{\int{\sin^2(\phi) \ d\phi}}$ [/mm] um.

Gruß

schachuzipus

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Frage zu einem Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Sa 29.08.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{sin^{2}\phi\ d\phi}[/mm]


Hallo Surfer,

dieses Integral kann man auch mittels der
trigonometrischen Identität

       [mm] $sin^2\,\phi\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}\,(1-cos\ 2\,\phi)$ [/mm]

und der Substitution [mm] u:=2\,\phi [/mm]  berechnen.


LG   Al-Chw.

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