Frage zu Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hätte mal eine generelle verständnisfrage zu Vektorräumen: Was unterscheidet eigentlich einen Vektorraum von einem Körper?
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Mhm, kann man dann so sagen, dass in Vektorräumen bei der Addition und der skalaren Multiplikation immer ein Vektor als Ergebnis herauskommt und bei einem Körper rechnet man mit Skalaren als Ergebnisse?
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> Mhm, kann man dann so sagen, dass in Vektorräumen bei der
> Addition und der skalaren Multiplikation immer ein Vektor
> als Ergebnis herauskommt und bei einem Körper rechnet man
> mit Skalaren als Ergebnisse?
Im Vektorraum hat man einerseits Vektoren und
andererseits die Zahlen (Skalare) aus dem zu-
grunde liegenden Körper.
Im Körper gibt es keine solche Unterscheidung.
Hier hat man nur eine Sorte von Elementen sowie
die zwei Operationen Addition und Multiplikation,
welche jeweils einem Paar von Elementen ein
Element als Ergebnis der Operation zuordnen.
Nun haben wir aber z.B. im Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] neben
der Addition Vektor + Vektor = Vektor auch noch
eine Art Multiplikation Vektor [mm] \times [/mm] Vektor = Vektor,
nämlich das Kreuzprodukt. Diese "Multiplikation"
hat aber nicht die Eigenschaften, wie sie von
einer Multiplikation im Körper gefordert sind.
Insbesondere gibt es dazu keinen Eins-Vektor.
Die Multiplikation Skalar * Vektor = Vektor sowie
das Skalarprodukt Vektor * Vektor = Skalar scheiden
schon aus rein formalen Gründen als Kandidaten
für eine Körper-Multiplikation aus.
Gruß al-Chw.
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Körpern