Frage zu Umformung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] D_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] cos(ka) = [mm] \bruch{sin((2n+1)\bruch{\alpha}{2})}{2sin(\bruch{\alpha}{2})} [/mm] der Dirichlet Kern.
Dann sei [mm] F_{n} [/mm] = [mm] \bruch{D_{0}(t) + ... + D_{n}(t)}{n+1} [/mm] der Fejer Kern. |
hallo liebes forum!
ich muss für eine ausarbeitung aus dem bereich fourierreihen mich mit dem fejer kern beschäftigen und kann eine umformung nicht nachvollziehen.
Ich verstehe nicht, warum folgendes gilt:
(n+1) [mm] F_{n}(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2sin(\bruch{t}{2})}[ sin(\bruch{t}{2}) [/mm] + [mm] sin(3\bruch{t}{2}) [/mm] + ... + [mm] sin((2n+1)\bruch{t}{2}) [/mm] ] = [mm] \bruch{sin^2((n+1)\bruch{t}{2}}{2sin^2(\bruch{t}{2})}
[/mm]
kann mir da jemand auf die sprünge helfen? ich versuche mich daran schon seit stunden und ich komme nicht zurecht
lg, tanja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 12.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo tanja!
> Sei [mm]D_{n} = \bruch{1}{2} + \summe_{k=1}^{n} cos(ka) = \bruch{sin((2n+1)\bruch{\alpha}{2})}{2sin(\bruch{\alpha}{2})}[/mm]
> der Dirichlet Kern.
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> Dann sei [mm]F_{n} = \bruch{D_{0}(t) + ... + D_{n}(t)}{n+1}[/mm] der
> Fejer Kern.
> hallo liebes forum!
> ich muss für eine ausarbeitung aus dem bereich
> fourierreihen mich mit dem fejer kern beschäftigen und
> kann eine umformung nicht nachvollziehen.
>
> Ich verstehe nicht, warum folgendes gilt:
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> [mm](n+1) F_{n}(t) = \bruch{1}{2sin(\bruch{t}{2})}[ sin(\bruch{t}{2}) + sin(3\bruch{t}{2}) + ... + sin((2n+1)\bruch{t}{2}) ] = \bruch{sin^2((n+1)\bruch{t}{2}}{2sin^2(\bruch{t}{2})}[/mm]
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> kann mir da jemand auf die sprünge helfen? ich versuche
> mich daran schon seit stunden und ich komme nicht zurecht
Ich nehme an, es geht um das zweite Gleichheitszeichen, das erste ist ja nur die Definition des Fejer-Kerns.
Hier hilft folgender Trick, der die Moivre-Formel [mm] $e^{ix} [/mm] = [mm] \cos [/mm] x + [mm] i\sin [/mm] x$ für [mm] $x\in \IR$ [/mm] ausnutzt. (Derselbe Trick funktioniert für die Berechnung des Dirichlet-Kerns, siehe diese Diskussion.)
[mm] (n+1) F_{n}(t) = \bruch{1}{2sin(\bruch{t}{2})} \summe_{k=0}^n \sin\bruch{(2k+1)t}{2} [/mm] .
Aus der Moivre-Formel folgt, dass du den Sinus als Imaginärteil der e-Funktion schreiben kannst:
[mm] (n+1) F_{n}(t) = \bruch{1}{2sin(\bruch{t}{2})} \summe_{k=0}^n \mathop{\mathrm{Im}} e^{(2k+1)it/2} = \bruch{1}{2sin(\bruch{t}{2})} \mathop{\mathrm{Im}}\summe_{k=0}^n e^{(2k+1)it/2} [/mm] .
Nun ist [mm] $e^{(2k+1)it/2} [/mm] = [mm] e^{it/2}*e^{ikt}=e^{it/2}*(e^{it})^k$, [/mm] und daher
[mm] \summe_{k=0}^n e^{(2k+1)it/2} = e^{it/2} \summe_{k=0}^n (e^{it})^k [/mm] .
Die Summe rechts ist eine einfache geometrische Summe
[mm]\summe_{k=0}^n q^k = \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm],
also ist
[mm] \summe_{k=0}^n e^{(2k+1)it/2} = e^{it/2} \bruch{1-e^{i(n+1)t}}{1-e^{it}} [/mm] .
Den Bruch rechts erweitere ich mit [mm] $e^{-it/2}$:
[/mm]
[mm] = e^{it/2} \bruch{e^{-it/2}(1-e^{i(n+1)t})}{e^{-it/2}-e^{it/2}} [/mm] .
Der Nenner ist, wieder mit Moivre:
[mm] e^{-it/2}-e^{it/2} = \cos \bruch{t}{2} - i \sin \bruch{t}{2} - (\cos \bruch{t}{2} + i \sin \bruch{t}{2}) = -2i \sin\bruch{t}{2} [/mm],
sodass da steht:
[mm] \mathop{\mathrm{Im}}\summe_{k=0}^n e^{(2k+1)it/2} = \mathop{\mathrm{Im}} \bruch{1-e^{i(n+1)t}}{-2i\sin(t/2)} = \bruch{1}{2\sin(t/2)} \mathop{\mathrm{Im}}( i (1-e^{i(n+1)t}) ) [/mm]
[mm]= \bruch{1}{2\sin(t/2)} \mathop{\mathrm{Im}} (i[1-\cos((n+1)t)-i\sin((n+1)t)]) = \bruch{1-\cos((n+1)t)}{2\sin(t/2)} [/mm] .
Aus [mm] $\cos x=\cos(2*\bruch{x}{2}) [/mm] = [mm] \cos^2\bruch{x}{2}-\sin^2\bruch{x}{2}= 1-\sin^2\bruch{x}{2}-\sin^2\bruch{x}{2} [/mm] = 1- [mm] 2\sin^2\bruch{x}{2}$ [/mm] ergibt sich
[mm] (n-1) F_n(t) = \bruch{1}{2\sin\bruch{t}{2}}\bruch{\sin^2\bruch{(n+1)t}{2}}{\sin\bruch{t}{2}} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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