Frage zu Residuen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie alle Polstellen, deren Ordnung und Residuen.
[mm] \bruch{z}{sin(\Pi*z)*(z-1)}
[/mm]
mfg Double |
Meine Überlegung:
Meine Nullstellen lauten: 0,1,-1, da der sinus bei [mm] \pi ,-\pi [/mm] und [mm] \0 [/mm] null ist.
Weiters ist auch der Term z-1 bei 1 0. Somit ist 1 eine Doppelte Nullstelle.
Wenn ich die hebbarkeit überprüfe bekomme ich heraus, dass es sich um eine wesendliche singularität bei 1 handelt, bei 0 und -1 existiert ein Grenzwert.
[mm] Res_0=0
[/mm]
[mm] Res_{-1}=\bruch{-1}{2*\PI}
[/mm]
Jetzt zu den Fragen:
1.:Wenn die Funktion bei -1 hebbar ist, wieso bekomme ich dann ein Residuum herus(Widerspruch)
2.: um nun ein Res für -1 herauszufinden benutze ich die Reihenformel für Residuen(da es sich ja um eine wesendliche singularität handelt).
mein Ansatz:
[mm] \bruch{1}{sin(\pi z)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(\pi z)^{2n + 1}}{(2n + 1)!}}
[/mm]
ist das den so richtig? wenn ich das ganze nämlich fortsetze bekomme ich kein Residuum heraus :-D. Bitte um hilfe
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Hallo DoubleHelix,
> Bestimmen sie alle Polstellen, deren Ordnung und Residuen.
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> [mm]\bruch{z}{sin(\Pi*z)*(z-1)}[/mm]
>
>
> mfg Double
> Meine Überlegung:
> Meine Nullstellen lauten: 0,1,-1, da der sinus bei [mm]\pi ,-\pi[/mm]
> und [mm]\0[/mm] null ist.
> Weiters ist auch der Term z-1 bei 1 0. Somit ist 1 eine
> Doppelte Nullstelle.
> Wenn ich die hebbarkeit überprüfe bekomme ich heraus,
> dass es sich um eine wesendliche singularität bei 1
> handelt, bei 0 und -1 existiert ein Grenzwert.
> [mm]Res_0=0[/mm]
> [mm]Res_{-1}=\bruch{-1}{2*\PI}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Jetzt zu den Fragen:
> 1.:Wenn die Funktion bei -1 hebbar ist, wieso bekomme ich
> dann ein Residuum herus(Widerspruch)
Weil die Funktion bei z=-1 nicht hebbar ist.
> 2.: um nun ein Res für -1 herauszufinden benutze ich die
> Reihenformel für Residuen(da es sich ja um eine
> wesendliche singularität handelt).
> mein Ansatz:
> [mm]\bruch{1}{sin(\pi z)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(\pi z)^{2n + 1}}{(2n + 1)!}}[/mm]
>
> ist das den so richtig? wenn ich das ganze nämlich
> fortsetze bekomme ich kein Residuum heraus :-D. Bitte um
> hilfe
Gruss
MathePower
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Ich habe mir die Rechnung noch einmal angeschaut. Die Funktion [mm] \bruch{z}{sin(\pi z)(z-1)} [/mm] hat Nullstellen bei allen ganzen Zahlen. Ich schaue mir jetzt nur die NST bei [mm] z_1 [/mm] = 1, [mm] z_2 [/mm] = 0 und [mm] z_3 [/mm] = -1 an.
Res(f, [mm] z_1) [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow z_1} \bruch{z}{\bruch{d(sin(\pi z)(z-1)}{dz}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ;
Res(f, [mm] z_2) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \bruch{0}{-\pi} [/mm] = 0 ;
Res(f, [mm] z_3) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2 \pi} [/mm] .
wo ist mein fehler (falls da einer ist?)
mfg Double
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Hallo DoubleHelix,
> Ich habe mir die Rechnung noch einmal angeschaut. Die
> Funktion [mm]\bruch{z}{sin(\pi z)(z-1)}[/mm] hat Nullstellen bei
> allen ganzen Zahlen. Ich schaue mir jetzt nur die NST bei
> [mm]z_1[/mm] = 1, [mm]z_2[/mm] = 0 und [mm]z_3[/mm] = -1 an.
> Res(f, [mm]z_1)[/mm] = [mm]\limes_{z\rightarrow z_1} \bruch{z}{\bruch{d(sin(\pi z)(z-1)}{dz}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm] ;
Da die Nullstelle [mm]z_{1}=1[/mm] die Vielfachheit 2 besitzt,
ist folgende Formel anzuwenden:
[mm]Res(f,z_1) = \limes_{z\rightarrow z_1} \bruch{d}{dz}\left(\ \left(z-z_{1}\right)^{2}*f\left(z\right) \ \right)[/mm]
> Res(f, [mm]z_2)[/mm] = [mm]\ldots[/mm] = [mm]\bruch{0}{-\pi}[/mm] = 0 ;
> Res(f, [mm]z_3)[/mm] = [mm]\ldots[/mm] = [mm]\bruch{-1}{2 \pi}[/mm] .
> wo ist mein fehler (falls da einer ist?)
> mfg Double
Gruss
MathePower
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> Da die Nullstelle [mm]z_{1}=1[/mm] die Vielfachheit 2 besitzt,
> ist folgende Formel anzuwenden:
>
> [mm]Res(f,z_1) = \limes_{z\rightarrow z_1} \bruch{d}{dz}\left(\ \left(z-z_{1}\right)^{2}*f\left(z\right) \ \right)[/mm]
>
damit ist Res(f, [mm] z_1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty, [/mm] somit existiert nur 1 residuum, nämlich Res(f, [mm] z_2) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2\pi} [/mm] ?
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Hallo DoubleHelix,
> > Da die Nullstelle [mm]z_{1}=1[/mm] die Vielfachheit 2 besitzt,
> > ist folgende Formel anzuwenden:
> >
> > [mm]Res(f,z_1) = \limes_{z\rightarrow z_1} \bruch{d}{dz}\left(\ \left(z-z_{1}\right)^{2}*f\left(z\right) \ \right)[/mm]
>
> >
>
> damit ist Res(f, [mm]z_1)[/mm] = [mm]\bruch{1}{0}[/mm] = [mm]\infty,[/mm] somit
> existiert nur 1 residuum, nämlich Res(f, [mm]z_2)[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{2\pi}[/mm] ?
Nein, Res(f, [mm]z_1)[/mm] hat einen endlichen Wert.
Gruss
MathePower
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ich versteh das nicht.
[mm] \limes_{z\rightarrow 1} \bruch{d}{dz}(z-1)^2\bruch{z}{sin(\pi z)(z - 1)} [/mm] --> [mm] \limes_{z\rightarrow 1} \bruch{d}{dz}\bruch{z(z - 1)}{sin(\pi z)} [/mm] --> [mm] \limes_{z\rightarrow 1} \bruch{d}{dz}\bruch{(2z + 1)sin(\pi z) - (z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}. [/mm]
dann wende ich die regel von l'hospital an
[mm] \limes_{z\rightarrow 1} \bruch{d}{dz}\bruch{(2z + 1)sin(\pi z) - (z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2} [/mm] --> [mm] \limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z + 1)\pi cos(\pi z) + 2sin(\pi z) - (2z - 1)cos(\pi z) + (z^2 - z)\pi sin(\pi z)}{\pi sin(2 \pi z)} [/mm] = [mm] \bruch{-3\pi + 1}{0} [/mm] = [mm] -\infty [/mm]
was läuft da bei mir falsch?
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Hallo DoubleHelix,
> ich versteh das nicht.
> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{d}{dz}(z-1)^2\bruch{z}{sin(\pi z)(z - 1)}[/mm]
> --> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{d}{dz}\bruch{z(z - 1)}{sin(\pi z)}[/mm]
> --> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{d}{dz}\bruch{(2z + 1)sin(\pi z) - (z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)sin(\pi z) - \red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{0}{0}.[/mm]
> dann wende ich die regel von l'hospital an
> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{d}{dz}\bruch{(2z + 1)sin(\pi z) - (z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2}[/mm]
> --> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z + 1)\pi cos(\pi z) + 2sin(\pi z) - (2z - 1)cos(\pi z) + (z^2 - z)\pi sin(\pi z)}{\pi sin(2 \pi z)}[/mm]
> = [mm]\bruch{-3\pi + 1}{0}[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
> was läuft da bei mir falsch?
Gruss
MathePower
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> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)sin(\pi z) - \red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2}[/mm]
copy&paste fehler meinerseits. leider ändert sich das ergebnis nicht wesentlich, das ergebnis lautet dann
[mm] \ldots -\bruch{2\pi}{0} [/mm] = [mm] -\infty [/mm] .
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Hallo DoubleHelix.
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> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)sin(\pi z) - \red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2}[/mm]
> copy&paste fehler meinerseits. leider ändert sich das
> ergebnis nicht wesentlich, das ergebnis lautet dann
> [mm]\ldots -\bruch{2\pi}{0}[/mm] = [mm]-\infty[/mm] .
Bevor Du den Grenzwert bilden kannst,
ist entsprechend zu kürzen.
Gruss
MathePower
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jetzt raff ich gar nix mehr. ist
[mm] \limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)sin(\pi z) - \red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2} [/mm] nicht [mm] \bruch{0-0}{0}??
[/mm]
> Bevor Du den Grenzwert bilden kannst,
> ist entsprechend zu kürzen.
[mm] \limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)sin(\pi z) - \red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2} [/mm] =
[mm] \limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)}{sin(\pi z)} [/mm] - [mm] \limes_{z\rightarrow 1}\bruch{\red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} -\bruch{0}{0} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
>
> Gruss
> MathePower
mfg,
ein verwirrter doublehelix
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Hallo DoubleHelix,
> jetzt raff ich gar nix mehr. ist
> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)sin(\pi z) - \red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2}[/mm]
> nicht [mm]\bruch{0-0}{0}??[/mm]
Hier ist nichts zu kürzen.
>
> > Bevor Du den Grenzwert bilden kannst,
> > ist entsprechend zu kürzen.
> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)sin(\pi z) - \red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{(2z \blue{-} 1)}{sin(\pi z)}[/mm]
> - [mm]\limes_{z\rightarrow 1}\bruch{\red{\pi}(z^2 - z)cos(\pi z)}{sin(\pi z)^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{0} -\bruch{0}{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Da Du festgestellt hast, daß dies wieder ein unbestimmter Ausdruck ist,
kannst Du wiederum L' hospital anwenden.
Dann kürzt Du den durch L'hospital erhaltenen Ausdruck.
Erst dann bildest Du den Grenzwert.
> >
> > Gruss
> > MathePower
> mfg,
> ein verwirrter doublehelix
Gruss
MathePower
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> Da Du festgestellt hast, daß dies wieder ein unbestimmter
> Ausdruck ist,
> kannst Du wiederum L' hospital anwenden.
l'hospital kann man doch nur anwenden, wenn man einen ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] hat?
>
> Dann kürzt Du den durch L'hospital erhaltenen Ausdruck.
>
> Erst dann bildest Du den Grenzwert.
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Hallo DoubleHelix,
> > Da Du festgestellt hast, daß dies wieder ein unbestimmter
> > Ausdruck ist,
> > kannst Du wiederum L' hospital anwenden.
> l'hospital kann man doch nur anwenden, wenn man einen
> ausdruck [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] hat?
Das ist richtig.
Und den hast Du hier.
> >
> > Dann kürzt Du den durch L'hospital erhaltenen Ausdruck.
> >
> > Erst dann bildest Du den Grenzwert.
>
Gruss
MathePower
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ich stehe jetzt bei [mm] \limes_{z\rightarrow\1}\bruch{2z - 1}{sin(\pi z)} [/mm] - [mm] \limes_{z\rightarrow\1}\bruch{(z^2 - z)sin(\pi z)}{2\pi sin(\pi z)cos(\pi z)} [/mm] - [mm] \limes_{z\rightarrow\1}\bruch{(2z - 1)cos(\pi z)\pi}{2\pi sin(\pi z)cos(\pi z)}. [/mm]
irgendwo ist da aber noch ein fehler drin:
[mm] \limes_{z\rightarrow\1}\bruch{2z - 1}{sin(\pi z)} [/mm] - [mm] \limes_{z\rightarrow\1}\bruch{z^2 - z}{2\pi cos(\pi z)} [/mm] - [mm] \limes_{z\rightarrow\1}\bruch{(2z - 1)}{sin(\pi z)}* [/mm] 1/2
hier ist noch ein störendes 1/2
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Hallo DoubleHelix,
> ich stehe jetzt bei [mm]\limes_{z\rightarrow\1}\bruch{2z - 1}{sin(\pi z)}[/mm]
> - [mm]\limes_{z\rightarrow\1}\bruch{(z^2 - z)sin(\pi z)}{2\pi sin(\pi z)cos(\pi z)}[/mm]
> - [mm]\limes_{z\rightarrow\1}\bruch{(2z - 1)cos(\pi z)\pi}{2\pi sin(\pi z)cos(\pi z)}.[/mm]
Schreibe das alles unter einen Limes.
Im Zähler muß hier nur ein Term der Art übrig bleiben:
[mm]g\left(z\right)*\sin\left(\pi*z\right)[/mm]
,wobei [mm]g\left(z\right)[/mm] ein Polynom ist.
> irgendwo ist da aber noch ein fehler drin:
> [mm]\limes_{z\rightarrow\1}\bruch{2z - 1}{sin(\pi z)}[/mm] -
> [mm]\limes_{z\rightarrow\1}\bruch{z^2 - z}{2\pi cos(\pi z)}[/mm] -
> [mm]\limes_{z\rightarrow\1}\bruch{(2z - 1)}{sin(\pi z)}*[/mm] 1/2
> hier ist noch ein störendes 1/2
Gruss
MathePower
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