Frage zu Kuhn-Tucker Bed. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:47 Do 04.03.2010 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | Aufgabe ist aus dem Themenbereich der Produktionsplanung.
Wir wollen folgende Funktion maximieren:
[mm] G(x_1,x_2) [/mm] = [mm] 2000x_1-10x_1^2 [/mm] + [mm] 1000x_2 [/mm] - [mm] 20x_2^2 [/mm]
unter der Nebenbed.
[mm] 10x_1+5x_2\le [/mm] 720
wobei für [mm] x_1,x_2 \ge [/mm] 0 gilt. |
Nun haben wir im obigen Fall eine nicht lineare ZF und wenden Kuhn-Tucker bzw. Lagrange an um die obige Funktion zu maximieren.
Stellen die Lagrangefkt auf:
[mm] L(x_1,x_2,\lambda) [/mm] = [mm] 2000x_1-10x_1^2 [/mm] + [mm] 1000x_2 [/mm] - [mm] 20x_2^2 -\lambda(10x_1+5x_2-720)
[/mm]
Nun haben wir mittels Kuhn-Tucker folgende Bedingungen aufgestellt:
1) [mm] \bruch{\partial L}{\partial x_i}\le [/mm] 0, [mm] x_i\ge [/mm] 0 und [mm] x_i\bruch{\partial L}{\partial x_i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i
2) [mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda_j}\le [/mm] 0, [mm] \lambda_j\ge [/mm] 0 und [mm] \lambda_j\bruch{\partial L}{\partial x_i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] j
weiterhin haben wir geschrieben, dass
[mm] (I)\bruch{\partial L}{\partial x_1} [/mm] = [mm] 2000-20x_1 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] 10 [mm] \le [/mm] 0, [mm] x_1\ge [/mm] 0 und [mm] x_1\bruch{\partial L}{\partial x_1} [/mm] = 0
[mm] (II)\bruch{\partial L}{\partial x_2} [/mm] = [mm] 1000-40x_2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] 5 [mm] \le [/mm] 0, [mm] x_2\ge [/mm] 0 und [mm] x_2\bruch{\partial L}{\partial x_2} [/mm] = 0
[mm] (III)\bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = [mm] 10x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] - 720 [mm] \le [/mm] 0, [mm] \lambda\ge [/mm] 0 und [mm] x_1bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = 0
falls [mm] \lambda [/mm] = 0
(I) [mm] x_1 \ge [/mm] 100
(II) [mm] x_2\ge [/mm] 75
(III) [mm] 10\cdot [/mm] 100 + [mm] 5\cdot [/mm] 25 - 720 [mm] \not\le [/mm] 0
falls [mm] \lambda>0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = 72 - [mm] \bruch{1}{2}x_2
[/mm]
falls [mm] x_2 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = 72 (geht nicht laut (I)) deswegen muss [mm] x_2>0 [/mm] sein.
falls [mm] x_1 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = 144 (geht nicht laut (II)) deswegen muss [mm] x_1>0 [/mm] sein.
Somit ist [mm] \lambda,x_1,x_2 [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \lambda} =\bruch{\partial L}{\partial x_1} =\bruch{\partial L}{\partial x_2} [/mm] = 0
So nun können wir glaube nun normal Lagrange machen nachdem wir die Parameter geprüft haben.
Meine Frage ist nun woher ich meine Kuhn-Tucker-Bed. bekomme... der Rest ergibbt sich ja dann.
Vielen Dank für eure Hilfe!
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 06.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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